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目 录
1．数论的内容            …  …  … …  …3
2．实变函数论的特点      …  …  y-y]＜ε，这里mE[yf<y]相当于集合E[yf<y]的长度。
思路非常简单，但实现起来并非易事，因为E[yf<y]可能很不规则，如何求mE[yf<y]呢？这就是一般集合的测度问题(即第三章内容)， 而测度理论所度量的对象是集合，尤其是多元函数定义域所在空间R的子集。因此，必须先介绍集合与点集知识(即第一章、第二章内容)。测度理论本来是为了推广长度、面积、体积概念到一般g的集合，然而在实施过程中却使我们非常遗憾，我们无法对直线上所有集合规定恰当测度使得满足以下两点最基本要求：一、落实到具体区间的测度就是长度(即测度确为长度概念的推广)；二、总体测度等于部分测度之和( 即可列可加性成立
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)。只能对部分集合规定满足这两点基本要求的测度， 这一部分集合便是可测集合(即第四章内容)。那么哪些函数才能保证形如E[yf<y]的集合可测呢？这就是可测函数理论问题(即第四章内容)，由于E[yf<y]＝E[fy]－E[fy]，所以我们采用对a,有E[fa]可测，作为函数可测的定义。
有了以上准备之后，才根据前述思路对可测集上定义的可测函数先定义大（小）和
Ｓ(D,f)＝ymE[yf<y] （s(D,f)=ymE[yf<y]）
然后规定Ｓ(D,f)（＝s(D,f)）为积分值，定义并讨论新积分的性质(即第五、六章内容)。
以上所述，既是Lebesgue创立新积分的原始思路，也是传统教材介绍Lebesgue积分定义的普遍方法。
鉴于人们在研究可测函数时发现：可测函数的本质特征是正、负部函数的下方图形均为可测集。结合Riemann积分的几何意义，使我们自然想到：与其说测度推广了定义域的长度（面积、体积）概念后使得我们作大、小和更加灵活多样，以达推广积分的目的，不如说由于定义域与实数域的乘积空间的面积（体积）概念的推广,使得大量的象Dinichni函数那样图形极其不规则的下方图形可以求面积（体积）了，从而拓宽了可积范围。于是我们在本教材中采取直接规定其测度之差为积分值（如果差存在的话）的办法，该定义简单、明了、直观。既有效地避免了分划、大（小）和、确界概念的繁琐，又成功地回避了先在测度有限，函数有界条件下讨论积分性质，然后推广到测度无限，函数无界的一般情形的重复、哆嗦。
 
由以上叙述可以看出《实变函数论》内容单纯，学习起来应该简单，然而实际情况却大相径庭，各届同学都叫困难。原因在何处呢？原因在于高度抽象，理论性强。
抽象到什么程度呢？仅据两例说明之：
一是“似是而非”。
例１：若许多同学站成一列，且男女生交叉排列，任意两个男生中间有女生，任意两个女生中间有男生，在其中任取一个片段，男女生的个数无非有三种可能：或男女生一样多或男生多一个或女生多一个，也就是说在任一片段中男女生个数至多相差一个。直线上的有理数、无理数表面看来很类似，任意两个有理数中间有无理数，任意两个无理数中间有有理数，在其中任取一节线段，有理数、无理数的个数似乎无非只有三种可能：或有理数、无理数一样多或有理数多一个或无理数多一个，也就是说在任一片段中有理数、无理数个数至多相差一个。但严密的逻辑推理告诉我们：这种说法是错误的，事实上，有理数比无理数少得多。少到什么程度？有理数相对无理数而言是那样的微不足道，有他不多，无他不少。即无理数居然与实数一样多。
二是“似非而是”
例２：有理数在直线上密密麻麻，自然数在直线上稀稀拉拉，如果以前有人说自然数与有理数一样多的话，没人敢承认，
而《实变函数论》通过严密论证该结论无可非议。
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理论性强是由于实变函数论的内容结构所决定的，因它只做一件事：恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。这就使得实变函数论的绝大部分篇幅都是在作理论上的准备，很少有应用、例题的原因。
 
针对实变函数论的特点，学习它应有本门课程独特的方法。
由于实变函数论高度抽象，对于每一个尚未证明的结论都应持谨慎态度，不能简单类比后就盲目承认和否定，必须严格论证或举出反例，否则就有可能出现例１、例２类似的错误；对于每一个已经证明的结论不仅仅是记住，更重要的是理解其证明，想象其合理的直观意义。只有理解其证明才能借鉴其方法，同时也只有想象其