文档介绍：第八章 层次分析法建模
在生产实践甚至日常生活中，常常会遇到这样一类决策问题，通常有多而有 限种可供选择（典型的）的方案，但对一个方案的评价却需要考虑多方面的因素， 这些方案本身以及影响因素的重要性、优先程度往往难以量化，人的主观选择会 ij }nxn 满足:
1） 非负性
2） 互反性
3） 一致性
a > 0(i, j = 1..n)
ij；
a - ji(i ,j=i・・n),特别 a=i(i=山)； a = a / a (i, j, k = 1・・n)
ij ik jk 。
显然一致性比互反性更强，在对复杂决策系统的多个设计方案进行优化决策 时，构造的成对比较矩阵通常很难满足一致性，而互反性却会被很自然的满足。
称一个满足非负性、互反性的矩阵为正互反矩阵，称一个满足非负性、一致 性的矩阵为一致阵。
定理：设A = （（aij }nxn是一个一致阵，贝U：
1） A的秩等于1 , 0是它的n -1重特征值；
2） n是A的另外一个特征值，且A的任何一个列向量均为它对应特征值n的特 征向量。
结合前面的讨论，不难发现权向量与一致阵之间的一一对应关系。
定理：设A = （aij }nxn是一个正互反矩阵，贝U：
1） 对A的所有特征值按模取最大的，必对应一个一重的正的特征值，不妨以九* 记之；
2） A的对应特征值九*的特征向量的所有分量的正负一致，不妨以w *表示A的
对应特征值九*的符合归一化条件的特征向量，则 lim上也=w*，这里
k T8 erAke
e = （1, 1 A 1）r g Rn ；
3） 九* » n，且当且仅当A是一致阵时，九* = n。
准确理解该定理应做到如下几点： 其一，该定理事实上给出了数值求解一个正互反矩阵最大正特征值以及相应 特征向量的一个算法，称之为幂法，描述如下：
幂法：
步1：给定精度要求£ > 0， 步2 :计算w = Aw ,
九=Min{X | i = l..n}， w =
min i
w =壬-e
n；
九=w /w (i = 1..n) i i i
1~
w ；
eT • w
九=Max{X I i = l..n}，
max i
步3：若入max-九min >£，转步2；否则，以“ （^max +^min）/2、W为A的最大 正特征值以及相应特征向量，停。
其二，它提供了一个评价正互反矩阵一致性程度的指标，即以入*与n的差来 判断，后面专门讨论。
二． 成对比较矩阵的构造
就成对比较矩阵A =气）nxn的构造，Saaty建议為在数字1〜9及其倒数中取 值，这是综合考虑人们的经验与认知局限、方法的实用性，甚至还包括心理学研 究的成果等因素给出的。当然将比较的量度幅值限制在1/9〜9，这是因为超过这 个范围之外的两个对象或方案本质上不具有可比性，那些不具有任何竞争力的方 案从一开始就应当被淘汰，以免在方法的应用中被过多的干扰因素所淹没。
下表给出了 aij取值的标度及其含义:
标度
含义：i方案（因素）比j方案（因素）
1
同等重要
3
稍重要
5
重要
7
明显重要
9
绝对重要
2， 4， 6， 8
介于上述两个相邻等级之间
1/2,1/3・・・1/9
i方案（因素）与j方案（因