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抽象函数经典习题
新泰一中 闫辉
若函数的定义域为,则函数的定义域为( )
A. B. C
∴函数是R上的单调增函数.
9.(1)解: ∵对任意,有>0, ∴令得,
(2)任取任取,则令,故
∵函数的定义域为R,并满足以下条件:①对任意,有>0;②对任意,有;③
∴
∴
∴函数是R上的单调减函数.
(3) 由（1）（2）知，，∴
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∵
∴，而
∴
∴
(1)证明:令,则
∵当时,,故,∴,∵当 时,
∴当时,,则
(2)证明: 任取,则
∵,∴0<,故<0,又∵
∴,故
∴函数是R上的单调减函数.
(3) ∵
由（2）知，是R上的减函数，∴
∵B={}=
又∵，
∴方程组无解，即直线的内 部无公共点
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∴，故的取值范围是-
(1)解:∵为R上的奇函数, ∴对任意都有,令则
∴=0
(2)证明: ∵为R上的奇函数, ∴对任意都有,
∵的图象关于直线对称, ∴对任意都有,
∴ 用代得,
∴,即
∴是周期函数,4是其周期.
(3)当时，
当时，，
当时，，
∴
图象如下：
y
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-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
(1)证明：令，则，故
（2）∵，令，则， ∴
∴成立的x的取值范围是。
解:（1）由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,
从而知函数不是奇函数,
由
,从而知函数的周期为
又,故函数是非奇非偶函数;
(2)由
又
故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.
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经典习题2
定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，
求证：f(0)=1；
求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；
（3）证明：f(x)是R上的增函数；
（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。
解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1
（2）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) ∴
由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0
∴又x=0时，f(0)=1>0
∴对任意x∈R，f(x)>0
(3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0
∴
∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在R上是增函数
（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，
f(x)在R上递增
∴由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0 ∴ 0<x<3
已知函数,在R上有定义，对任意的有 且
（1）求证：为奇函数
（2）若， 求的值
解（1）对，令x=u-v则有f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)-
g(u)f(v)]=-f(x)
（2）f(2)=f{1-(-1)}=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)}
∵f(2)=f(1)≠0
∴g(-1)+g(1)=1
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已知函数对任意实数恒有且当x＞0，
(1)判断的奇偶性；
(2)求在区间[－3,3]上的最大值；
(3)解关于的不等式
解（1）取则
取
对任意恒成立 ∴为奇函数.
（2）任取， 则