文档介绍：学习必备 欢迎下载
学习必备 欢迎下载
学习必备 欢迎下载
数列不等式综合题示例
数列不等式综合题，是高考数学的常见试题. 这类试题，对数列方面的考查多属基础知识和基本技能的层级，而对不等式因为，当时，所以由题设得，
当时，.
∴， ①
从而，，
即得
∴ ②
由2×②－3×①，整理得
该式对n=1也成立，从而得通项
即
（Ⅱ）的证明：
方法一
∵
∴
方法二
∵，
学习必备 欢迎下载
学习必备 欢迎下载
学习必备 欢迎下载
∴
得
∴
猜测
（i）当n=1时，上面已证明猜测成立；
（ii）假设当时，猜测成立，即
，
则
即当n=k+1时猜测也成立.
综合（i）（ii）得对任意正整数n，猜测都成立.
所以，
体验
（1）已知数列前n项的和Sn与通项an的关系式，为求通项的解析式，通常要将条件转化为数列的递推关系式或数列的递推关系式，然后，再作进一步推演，这时要用到公式
学习必备 欢迎下载
学习必备 欢迎下载
学习必备 欢迎下载
许多时候，容易忽略，这个式子，同时，对于另一式子中n的取值范围，也容易忽视，以致出现差错. 对此，必须警觉.
（2）根据递推关系求通项an，是常见的数列试题. 近几年的高考数学考试中，这类试题较多出现. 其中，可以是常数、等比数列、等比数列与常数之和、等比数列与等差数列之和，等等形式. 本题（Ⅰ）的四种解法，反映了解答这类问题的基本思路和常用方法，其核心思想是：转化为等比数列的问题进行解答，或借助解方程的方法求解. 能否成功，关键在于代数变换与换元是否有效. 具体的运用非常灵活，就本题（Ⅰ）的解法而言，尚有多种解答方案可供选择，远非只是上述的4种.
（3）关于不等式的证明，上述两种证法有典型意义. 证法一采用裂项的技术，将不等式化简，达到证明目的，十分精练. 用好这一技术，须具有良好的观察能力和裂项的经验. 因此，平时要注意经验的积累和一定的操作训练，当存在数列满足时，则有，从而达到将和式化简的目的. 这里的关键是数列的发现. 举个例说，可用这项技术，求等比数列前n项的求和公式：
设，则有
，
∴. 也可写成.
（4）上述（Ⅱ）的证法二，采用了由特殊到一般的思维方式，根据开始的几个特殊情形，探索规律，对一般情形作出“猜测”，进而应用数学归纳法，作出证明，完成解答. 这也是解答数学问题的一种常用方法. 该法成功与否，关键在于猜测，为了使猜测有效和正确，在考查特殊情形时，应避免机械的数字计算和瞎猜，须讲究方法. 例如，上述在考查与的变化规律 ，充分注意所要证明的不等式的特点，把观察的侧重点放在差值的估计上：把T1=1写成；把写成；把写成. 为一般规律的发现提供了方便，提高了猜测的成功率.
学习必备 欢迎下载
学习必备 欢迎下载
学习必备 欢迎下载
例3 数列满足a1=1，且.
（Ⅰ）用数学归纳法证明：；
（Ⅱ）已知不等式对成立. 证明：. 其中无理数
e = … .