复变5复习与练习题.ppt

文档介绍：复变5复****与练****题
如果洛朗级数中含有无穷多个
那末孤立奇点
称为
的本性奇点.
的负幂项,
注意: 在本性奇点的邻域内
不存在且不
为
iii)本性奇点
i) 零点的定义
不恒等于零的解析函数
如果
复变5复****与练****题
如果洛朗级数中含有无穷多个
那末孤立奇点
称为
的本性奇点.
的负幂项,
注意: 在本性奇点的邻域内
不存在且不
为
iii)本性奇点
i) 零点的定义
不恒等于零的解析函数
如果
能表示成
其中
在
解析且
m为某一正整数,
那末
称为
的 m 级零点.
3)函数的零点与极点的关系
ii)零点与极点的关系
如果
是
的 m 级极点, 那末
就是
的 m 级零点. 反过来也成立.
2. 留数
记作
定义 如果
的一个孤立奇点, 则沿
内包含
的
任意一条简单闭曲线 C 的积分
的值除
后所得的数称为
以
1)留数定理 设函数
在区域 D内除有限个孤
外处处解析, C 是 D内包围诸奇
点的一条正向简单闭曲线, 那末
立奇点
留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数
在C内各孤立奇点处的留数.
(1) 如果
为
的可去奇点, 则
如果 为 的一级极点, 那末
a)
(2) 如果
为
的本性奇点, 则需将
成洛朗级数求
展开
(3) 如果
为
的极点, 则有如下计算规则
2)留数的计算方法
c)
设
及
在
如果
那末
为一级极点, 且有
都解析，
如果 为 的 级极点, 那末
b)
也可定义为
记作

设函数
在圆环域
内解析
C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线
那末积分
值为
在
的留数.
的值与C无关 , 则称此定
3)无穷远点的留数
如果函数
在扩充复平面内只有有限个
孤立奇点, 那末
在所有各奇点 (包括 点)
的留数的总和必等于零.
定理
3. 留数在定积分计算上的应用
1）三角函数有理式的积分
当
历经变程
时, z 沿单位圆周
的
正方向绕行一周.
2）无穷积分
3）混合型无穷积分
特别地

定义
具有下列形式的积分:
内零点的总个数, P为 f(z)在C内极点的总个数.
其中, N为 f(z)在C
且C取正向.
如果 f(z)在简单闭曲线C上与C内解析, 且在
C上不等于零, 那么 f(z)在C内零点的个数等于
乘以当z沿C的正向绕行一周 f(z)的辐角的改变量.
辐角原理
路西定理
三、典型例题
解
解
例2 求函数 的奇点，并确
定类型.
解
是奇点.
是二级极点;
是三级极点.
例3 证明 是 的六级极点.
证
例4 求下列各函数在有限奇点处的留数.
解
(1)在 内,
解
解
为奇点,
当 时 为一级极点，
解
的一级极点为
例5 计算积分
为一级极点， 为七级极点.
解
由留数定理得
例6
解
在 内,
解
例7 计算
例8 计算
解
令
极点为：
例9 计算积分
解
极点为
其中
由留数定理，有
例10 计算积分
解
在上半平面内有一级极点
感谢聆听!