文档介绍：复变函数与积分变换第3章复变函数的积分
例1 计算其中为从原点到点的直线段。
解直线的方程可写成
又因为
容易验证，右边两个线积分都与路线复变函数与积分变换第3章复变函数的积分
例1 计算其中为从原点到点的直线段。
解直线的方程可写成
又因为
容易验证，右边两个线积分都与路线无关，所以的值无论是怎样的曲线都等于
例2 计算其中为以中心，为半径的正向圆周, 为整数.
解: 的方程可写成
所以
因此
例3 计算的值，其中为沿从（0，0）到（1，1）的线段
解
例4 计算的值，其中为沿从（0，0）到（1，1）的线段与从（1，0）到（1，1）的线段所连结成的折线。
解 :
第3章复变函数的积分
积分基本定理
——柯西—古萨基本定理
积分的值与路经无关，或沿封闭的曲线的积分值为零的条件，可能与被积分函数的解析性及区域的单连通性有关.
柯西—古萨（Cauchy—Goursat）基本定理如果函数在单连通域内处处解析，那末函数沿其内的任何一条简单闭曲线的积分值为零。即
几个等价定理
定理一如果函数在单连通域内处处解析，那末积分与连结从起点到终点的路线无关.
定理二如果函数在单通连域内处处解析，那末函数必为内的解析函数,并且
复连通区域的柯西定理——复合闭路定理
复合闭路定理设有围线，其中的每一条均在其余各条的外部，而它们又全部在的内部；设为由的内部与的外部相交部分组成的复连通区域，若在内解析且在上连续，则

在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，这一重要事实，称为闭路变形原理.
例1 计算的值，为包含圆周在内的任何一条正向简单闭曲线。
解 :
第3章复变函数的积分
积分基本公式与高阶导数公式
柯西积分基本公式
定理(柯西积分公式) 如果函数在区域内处处解析，为内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于 , 为内部的任一点,那末

内部任何一点的值,用它在边界上的值来表示.
例1 计算 (沿圆周正向)
解由柯西积分公式得
例2 计算 (沿圆周正向)
解由柯西积分公式得
柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式,是研究解析函数的有力工具.
().
一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值 .
解析函数的高阶导数
一个解析函数不仅有一阶导数,,因为一个实变函数的可导性不保证导数的连续性,因而不能保证高阶导数的存在,关于解析函数的高阶导数我们有下面的定理
定理解析函数的导数仍为解析函数,它的阶导数为:
其中为在函数的解析区域内围绕的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全含于 .
例3 计算其中为正向圆周:
解:由公式得
第3章复变函数的积分
原函数与