文档介绍：复变函数课件83732
例1
解
8
例2
解
2、 可导与连续之间的关系
9
注：与实变函数一样，一个复变函数连续不一定可导！
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实变函数的连续与可导
如果函数图像在某复变函数课件83732
例1
解
8
例2
解
2、 可导与连续之间的关系
9
注：与实变函数一样，一个复变函数连续不一定可导！
10
实变函数的连续与可导
如果函数图像在某一点有角，那么虽然图像时连续的但是由于不能在一个角上确定它的切线，从而不能确定切线的斜率，也就不能确定导数，所以导数不存在
只要可导，那么在这一点就是有定义的，并且由于有定义，所以在这一点的极限值等于函数值，从而确定是连续的，也就是说的可导必连续。
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与实函数一样，可导一定连续.
事实上, 由在z0点可导的定义, 对于任给的e >0, 相应地有一个d >0, 使当0<|Dz|<d 时, 有
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由于复函数与实函数的导数定义和极限运算法则在
形式上完全一致，因而二者具有相同的求导法则：
3、 求导法则
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（5）反函数的导数 ，其中 w=f (z)
与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0.
这样，，
另外，有理分式在分母不为零的点处可导.
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4、 解析函数的概念
不解析的点称为奇点.
注：（1）可导与解析是两个完全不同的概念，解析
一定可导，，
即解析的条件比可导要强，但我们却有以下结论：
若函数在区域D内可导，则在D内一定解析.
即在区域上，可导与解析是等价的.（为什么？）
例如:
以z=0为奇点
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关于解析函数一些作者不用解析而用各种不同的名称，例如全纯，正则，解析正则，单演，伴生（synectic）等
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例3
答案：
17
18
极限不存在.
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20
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例4
解
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解析函数的和、差、积、商仍为解析函数.
由求导法则，不难看出：
解析函数的复合函数仍为解析函数.
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§2 函数可导与解析的条件
本节内容：介绍一种判别函数可导性、解析性的非常有效的方法；建立函数的可导性与其实、虚部的偏导之间的关系.
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举例尝试
容易求得
观察、寻找联系后发现有
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究竟是偶然的现象还是必然的规律？
？
为方便起见，对于实二元函数 g(x, y),记
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定理1 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在点 可导的充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在 可微，且在该点满足Cauchy-Riemann方程
(1) 此条件也被称为达朗贝尔-欧拉条件
注
(2) 这个条件实际上是复变函数论与偏微分方程理 论之间的一座桥梁。
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推论1 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y),如果u(x, y) 和 v(x, y)的四个偏导数 :
在点(x,y)处连续, 且满足C-R方程，则f(z)在点
z=x+iy处可导。
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定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要
条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且
满足Cauchy-Riemann方程
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推论2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y),在区域D内有定义，如果在D内u(x, y) 和 v(x, y)的四个偏导数 :
存在且连续, 并且满足C-R方程，则f(z)在D内解析。
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判定下列函数在何处可导, 在何处解析:
解
不满足柯西－黎曼方程,
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四个偏导数均连续
指数函数
32
四个偏导数均连续
33
解
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证明
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小 结
1、导数的概念，复变函数求导法则.
2、解析的概念，解析与可导的关系.
3、判别复变函数可导与解析性的有效方法：
柯西—黎曼定理