文档介绍：: .
第九章回归分析
教学要求
1. 一元线性回归及线性相关显著性的检验法，利用线性回归方程进行预录。试求这两个变量间的经验公式
编号
123456789101112
拉伸倍数x
强度y
(Mpa)
编号
131415161718192021222324
拉伸倍数x
强度y
(Mpa)
将观察值（Xi,y）,i=1,……,24在平■面直角坐标系下用点标出，所得的图称为散点图。从本例的散点图看出，强度y与拉伸倍数x之间大致呈现线性相关关系,一元线性回归模型是适用y与x的。现用公式〔〕求3g,这里n=24x、,
x「
,
V\
,
..b上
Lxx
由此得强度
12
—
24
1
24
12
24
?yb?
y与拉伸倍数x之|可的经验公式为
y?
三、最小二乘估计a,i?（，ab的最小二乘估计？,？满足:
Ec?a,Ei?
-2x
L
xx
D(b)!2Lxx
x
Lxx
证：（1）注意到对任意i=1,2,门有Eyabx,cov(ab)Eybx,Dyi2E(yy)EyEy
b(xx)2
丁是ei?—Lxx
nE(X
i1x)(yy)
nb(Xx)2
b
LxxE<?EyxEb?
n(2刑用(xix)1
bxbxo,将a、I?表小为:
nI
Lxxii&1na?yi
ni1(xix)(yin(XiLxxii1(xix)x,]yi—、iy)()n-
iinLxx由丁yi,y2,,yn相互独立,有2()n
D(I)-r(为x)
Lxxi1
n1
[-
1n
[1
n
(1
n
D(?)(xix)x]2
Lxx
n(Xi耳LM\2L2xLxx2一\2一2x)x]2cov(?,b)n(xix)[1
i1L*_n
n(xx)2x2
I2i1Lxx(xix)x
L2x]
x
2
Lxx
，a、b的最小二乘估计？、？是无偏的，从（）,（，因此（、9分别是a、a、b的线性无偏估计。
§.2建立回归方程后进一步的统计分析侄的无偏估计
1c由丁o•正切差《i=1,,n)的方差，如果毛月匕观测，自然想到用-i来估计
niqM而8是观测不到的，能观测的是用残
1n
ni1
差V\?i
1n
?i)2—(Yi<?l?Xi)2
ni1
V\.由Eyi
计i
亳邪)n
?bXi?(即Eyi的估计)，就应
,因此，想至U用
来估计(T2,我们希望得到
无偏估计，为此需求残差平方和Q(?,b)的数学期望，由定理可推出
(n2)2(学员自验)
Q(*"-^―(yi?)2为。2的无偏估计，例如§例
n2n2i1
E[Q(翌]
丁是得?2
?
?2。(气，则E?22。
竺鱼为标准误差，它反映回归直线拟合的程度。n2
我们称？
具体计算时可用Q(a,b)
Lyy%Lyy(1
LXy)LxxLyy
2、
Lyy(1r)。
二、预测与控制
1、预测问题对丁一元线性回归模型
yabx
_2
~N(0,2)
我们根据观测数据(x,yi),i=1,…,n，得到经验回归方程§a?
X0〔x°ux,i=1,…,n〕，如何估计或预测相应的yo呢？这就是所谓的预测问题,
b?x,当控制变量
x取值
自然
我们想到用经验公式，取§0?bX0来估计实际的y0abx00，并称?0为y0点估计或点预测。在实际应用中，假设响应变量y比较难观测，而控制变量x却比较容易观察或测量，那么根据观测资料得到经验公式后，只要观测x就能求得y的估计和预测值，这是回归分析最重要的应用之一，例如在§例1中，拉伸倍数x°=，则可预测强度?
但是，上面这样的估计用来预测y究竟好不好呢？它的精度如何？我们希望知道误差，丁是就有考虑给出一个类似丁置信区间的预测区间的想法。
yi
(正态)线性模型〔〕
abxi(i1,,n)1