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版高等代数北大版第7章****题参考答案
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版高等代数北大版第7章****题参考答案
第七章线性变换
1．鉴别下边所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1）在线性空
2
2
3)因为(AB)
(a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x)，A
B(a)=(-x,-y,z)，
所以(AB)2
A
2
B
2。
[x]
中，Af(x)
f'(x),Bf(x)xf(x)，证明:AB-BA=E。
证任取f(x)
P[x]，则有
(AB-BA)f(x)=ABf(x)-BAf(x)=A(xf(x))-B(f'(x))=f(x)
xf;(x)-xf'(x)=f(x)
所以
AB-BA=E。
,B是线性变换，假如AB-BA=E，证明：AkB-BAk=kAk1
(k>1)。
证采纳数学概括法。当
k=2时
A2B-BA2=(A2B-ABA)+(ABA-BA
2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=
2a，结论建立。
概括假定k
m时结论建立，即
AmB-BAm=mAm1。则当km1时，有
Am1B-BAm1=(Am1B-AmBA)+(AmBA-BAm1)=Am(AB-BA)+(A
mB-BAm)A=AmE+mA
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m1A=(m
1)Am。
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即k
m
1
1结论建立。
：可逆变换是双射。
证设A是可逆变换，它的逆变换为
A1。
若ab
，则必有Aa
Ab，否则设Aa=Ab，两边左乘A1，有a=b，这与条件矛盾。
其次，对任一直量b，必有a使Aa=b，事实上,令A1b=a即可。所以,A是一个双射。
1,
2,
,
n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。证明：A是可逆变换当且
仅当A
1,A
2,
,A
n线性没关。
证因A(1,
2,
,
n)=(A1,A
2,
,A
n)=(1,
2,
,n)A，
故A可逆的充要条件是矩阵
A可逆，而矩阵A可逆的充要条件是A1,A2,
,A
n线性无
关，故A可逆的充要条件是
A
1,A
2,
,An线性没关.。
:
1)
第1
题4)中变换A在基1=(1,0,0),
2=(0,1,0),
3=(0,0,1)下的矩阵；
2)
[o;
1,
2]是平面上向来角坐标系
,A是平面上的向量对第一和第三象限角的均分线的垂
直投影,B是平面上的向量对
2的垂直投影，求
A,B,AB在基1,2下的矩阵；
3)
在空间P[x]n中，设变换A为f(x)
f(x
1)
f(x)，
试求A在基
i=x(x
1)
(x
i
1)
1
(I=1,2,
,n-1)下的矩阵A；
i!
4)
六个函数
1=eaxcosbx,
2=eaxsinbx，3=xeaxcosbx,4=xeaxsinbx，
1=
1x2eaxcosbx,
1=
1
eax
x2sinbx，的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空
2
2
间，求微分变换
D在基
i
(i=1,2,
,6)下的矩阵；
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5)
已知P
3中线性变换A在基
1=(-1,