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第8章梁的弯曲应力
梁在荷载作用下，横截面上一般都有弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有正应力和剪弯刚度。
My
再将式()代入式(b)，于是得横截面上y处的正应力为()
此式即为纯弯曲正应力的计算公式。
式中M为横截面上的弯矩；Iz为截面对中性轴的惯性矩；y为所求应力点至中性轴的距离。
当弯矩为正时，梁下部纤维伸长，故产生拉应力，上部纤维缩短而产生压应力；弯矩为负时，则与上相反。在利用()式计算正应力时，可以不考虑式中弯矩M和y的正负号，均以绝对值代入，正应力是拉应力还是压应力可以由梁的变形来判断。
应该指出，以上公式虽然是纯弯曲的情况下，以矩形梁为例建立的，但对于具有纵向对称面的其他截面形式的梁，如工字形、T字形和圆形截面梁等仍然可以使用。同时，在实际工程中大多数受横向力作用的梁，横截面上都存在剪力和弯矩，但对一般细长梁来说，剪力的存在对正应力分布规律的影响很小。因此，()式也适用于非纯弯曲情况。
由式()可知，在y=ymax即横截在由离中性轴最远的各点处，弯曲正应力最大，其值为MMmax~ymax~jIz1zymax
式中，比值Iz/ymax仅与截面的形状与尺寸有关，称为抗弯截面系数，也叫抗弯截面模量。
用Wz表不'。即为
…IzWz()ymax
于是，最大弯曲正应力即为max
M
Wz
()
可见，最大弯曲正应力与弯矩成正比，与抗弯截面系数成反比。抗弯截面系数综合反映了横截面的形状与尺寸对弯曲正应力的影响。
bh2
6
()
Wz
32
()
Wz
而空心圆截面的抗弯截面系数则为()式中a=d/D,代表内、外径的比值。
至于各种型钢截面的抗弯截面系数，可从型钢规格表中查得（见附录）。
，自由端承受集中荷载F作用，已知：h=18cm,b=12cm,y=6cm,a=2m,F=。计算A截面上K点的弯曲正应力。
解先计算截面上的弯矩
截面对中性轴的惯性矩Iz
33
bh12°18°74
——°mm
12
12
31°°7
A截面上的弯矩为负，K点是在中性轴的上边，所以为拉应力。
构件在外力作用下产生的应力和变形，都与构件的截面的形状和尺寸有关。反映截面形状和尺寸的某些性质的一些量，如拉伸时遇到的截面面积、扭转时遇到的极惯性矩和这一章前面遇到的惯性矩、抗弯截面系数等，统称为截面的几何性质。为了计算弯曲应力和变形，需要知道截面的一些几何性质。现在来讨论截面的一些主要的几何性质。
均质薄板的重力，根据合力矩定理可得形心坐标公式
若截面形心得坐标为yc和zc（C为截面形心），将面积得每一部分看成平行力系，即看成等厚、Zc
zdA
切,片
(a)
静矩又称面积矩。其定义如下，(z,y)，围绕M点取一微面积dA,微面积对z轴的静矩为ydA,对y轴的静矩为zdA，则整个截面对z和y轴的静矩分别为：
SzAydASyzdAyA
有形心坐标公式
AydAAye
A
zdAAzC
A
知：
SzAydAAye
SyzdAAzeA
上式中ye和ze是截面形心C的坐标，A是截面面积。当截面形心的位置已知时可以用上式来计算截面的静矩。
从上面可知，同一截面对不同轴的静矩不同，静矩可以是正负或是零；静矩的单位是长度的立方，用m3或cm3、mm3等表示；当坐标轴过形心时，截面对该轴的静矩为零。
当截面由几个规则图形组合而成时，截面对某轴的静矩，应等于各个图形对该轴静矩的代数和。其表达式为(d)
(e)
n
SzAiyin
SyAizi
而截面形心坐标公式也可以写成ze
Ayi
AT
(f)
ye
Azi
A"
(g)
在图和Y2dA。
、惯性积和平行移轴定理Iz
Iy
人孙,az%A
(h)
dA,贝U微面积dA对z轴和y轴的惯性矩为z2dAz轴和y轴的惯性矩分别记为Iz和Iy,而惯性积记为Izy,则定义：
IzyzydA
A
(i)
极惯性矩定义为
IA2dAA(z2