文档介绍：期权订价中的蒙特卡洛模拟方法
期权订价中的蒙特卡洛模拟方法
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期权订价中的蒙特卡洛模拟方法
期权订价中的蒙特卡洛模拟方法
期权作为最基础的金融衍生产品之一，为其订价一直是金融
VV(S,t)的微分形式为
V
V
S
)dtSdW
S
S
V
VS，即有dr
dt，
S
rSVrV0
S
期权订价中的蒙特卡洛模拟方法
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期权订价中的蒙特卡洛模拟方法
这个表达式就是表示期权价钱变化的Black-Scholes偏
微分方程。它同时适合欧式看涨期权、欧式看跌期权、美式
看涨期权和美式看跌期权，只是它们的终值条件和边界条件
不同，其价值也不相同。
欧式看涨期权的终边值条件分别为
0
S0
V(S,T)max0,STK，
V(S,T)
S
S
经过求解带有终边值条件的偏微分方程，得出欧式看涨期权
的的解析解：
V(S,t)
SN(d1)Ker(Tt)N(d2)
N(d)
1
dx2
ln(S/K)(r
2/2)(T
t)
2
e2dx
d1
T
t
，
其中，
，
d2d1T
t，T为期权的执行日期，
K为期权的执行价钱。
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期权订价中的蒙特卡洛模拟方法
欧式看跌期权的终边值条件分别为
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期权订价中的蒙特卡洛模拟方法
V(S,T)max0,K
ST
V(S,T)
K
S0
，
0
S
别的，美式看涨期权的终值条件为
V(S,t)
max{0,SK}，
美式看跌期权的终值条件为
V(S,t)
max{0,K
S}。但是，美式
期权的价值没有解析解，我们一般可经过数值方法（蒙特卡洛模拟、有限差分法等）求得其近似解。
◆风险中性期权订价模型
如果期权的标的财产价钱听从几何布朗运动
dS
dW
rdt
S
即标的财产的刹时希望利润率
取为无风险利率
r。同理，根
据伊藤公式能够获得
2
dlnS
(r
)dt
dW
2
2
2
2(Tt))
lnSTlnSt
(r
)(Tt)
(WT
Wt)~N((r
)(Tt),
2
2
2
ST
Stexp((r
)(T
t)
(WT
Wt))
2
对数正态散布的概率密度函数：设~N(,2)，e，则的密度函数为
P(x)
1
exp((lnx
)2
)
x
0
2x
2
2
0
x
0
根据上述公式，获得标的财产
ST的密度函数如下
(lnx
2
1
(r
)(Tt))2
St
2
0
P(x)
exp(
2
2
)x
2T
tx
(Tt)
0
x
0
期权订价中的蒙特卡洛模拟方法
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期权订价中的蒙特卡洛模拟方法
在风险中性概率测度下，欧式看涨期权订价为：
V(S,t)
exp(
r(T
t))EQ[max{0,ST
K}]
x
2
1
(ln
(r
)(Tt))2
E
Q
[max{0,ST
K}]
exp(
S
2
2
)dx
K
2
Tt
2
T
t
(lnx
2
t))2
K
(r
)(T
texp(
S
22
2
)dx
K
x2
T
T