文档介绍：.
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1引言2
2矩阵间的三种关系2
...........件才可以相互转变，如果不能相互转变，那么你能找到相应的特例吗？
别的，三种矩阵的应用你知道它详细应用到什么领域吗?是怎样应用的？
矩阵的三种关系
.
.
:两个s
n矩阵A,B等价的充要条件为：存在可逆的s阶矩阵p与可逆的
n阶矩阵Q，
使得BPAQ
矩阵A与B等价必须具备的两个条件：
（1
）矩阵A与B必为同型矩阵（不要求是方阵）.
（2
）存在s阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q,
使B
PAQ.
：
（1
）反身性：即A
A.
（2
）对称性：若
A
B，则B
A.
（3
）传达性：若A
B，B
C，则AC.
(4)A等价于B的充要条件是秩（
A）=秩（B）
Er
0
(5)
设A为m×n矩阵，秩（A）=r，则A等价于
0
0，即存在m级可逆矩阵P，n级可逆矩阵Q，
Er
0
PAQ
0.
使
0
1
*
(6)(Schur定理)任何n级复方阵A必相似于上三角形矩阵，即A相似于
0
n其中1,,n
为矩阵A的特点值.
定理
：若A为m
n矩阵，并且r(A)
r，则一定存在可逆矩阵P（m阶）和Q（n阶），
使PAQ
Ir
0
B，其中Ir为r阶单位矩阵.
0
0mn
推论
：设A、B是两mn矩阵，则A
B当且仅当r(A)r(B).
定义
：设A,B均为数域p上的n阶方阵，若存在数域p上的n阶可逆矩阵p，使得PTAP
B,
则称矩阵为合同矩阵（若数域
p上n阶可逆矩阵p为正交矩阵），由矩阵的合同关系，得出矩阵
A与
合同必须同时具备的两个条件：
(1)
矩阵A与B不单为同型矩阵而且是方阵.
(2)
存在数域p上的n阶矩阵p,PTAPB
矩阵合同的性质：
1）反身性：任意矩阵A都与自己合同.
2）对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同.
3）传达性：如果B与A合同，C又与B合同，那么C与A合同.
合同的两矩阵有相同的二次型标准型.
.
.
(5)
在数域P上，任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵.
(6)
矩阵合同与数域有关.
因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等
.
定理
：数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.
定理
：复数域上秩为r的二次型，可以用适合的满秩线性变换化为标准形：
f
y2
y2
y2
1
2
r
.
矩阵的相似关系
定义
设A,B均为数域p上n阶方阵，若存在数域
p上n阶可逆矩阵
p使P1AP
B,则称
矩阵A与B为相似矩阵（若n级可逆矩阵p为正交阵，则称
A与B为正交相似矩阵）.
由矩阵的相似关系，不难获得矩阵
A与B相似，必须同时具备两个条件
矩阵A与B不单为同型矩阵，而且是方阵
(2)
在数域p上n阶可逆矩阵
P，使得P1AP
B
(1)
反身性:
A
ETAE;
(2)
对称性:
由B
CTAC即得A
C1
T
BC1
;
A1
C1TAC1和A2
C2
TA1C2即得
T
（3）传达性:
A2C1C2AC1C2
(4)
P
1(kA
kA)P
kP1AP
kP
1AP（其中k1,k2是任意常数）；
1
1
2
2
1
1
2
2
(5）P
1(AA