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曲线拟合的最小二乘法
姓名：徐志超学号：2013730059专业：材料工程学院：材料科学与工程学（Xi,Yi）（式1-7）得到的两个关于aO、a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：a0=QYi）/m-alQXi）/m（式1-8）al=[ZXiYi-（ZXiZYi）/m]/[》Xi2-QXi）2/m）]（式1-9）
这时把aO、a1代入（式1-1）中，此时的（式1-1）就是我们回归的元线性方程即：数学模型。
在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点（x1,y1、x2,y2...xm,ym）,为了判断关联式的好坏，可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于1越好；“F，啲绝对值越大越好；“S”越趋近于O越好。
R=[^XiYi-mQXi/m）QYi/m）]/SQR{[》Xi2-mQXi/m）2][》Yi2-m（ZYi/m）2]}（式1-10）
在（式1-1）中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。微积分应用课题一最小二乘法从前面的学****中,我们知道最小二乘法可以用来处理一组数据,可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系,,,…,,则在平面上,可以得到个点,这种图形称为“散点图”,从图中可以粗略看出这些点大致散落在某直线近旁,我们认为与之间近似为一线性函数,下面介绍求解步骤.
考虑函数,,,,它反映了用直线来描述,时,,但由于可正可负,因此不能认为总偏差时,函数就很好地反映了变量之间的关系,,,因此,,,的方法称为最小二乘法.
在科学实验的统计方法研究中，往往要从一组实验数据(x,y)(i=0,1,2,•••,m)中，寻找自变量x与因变量y之间的函数关系y=F(x)。
i由于观测数据往往不准确，因此不要求y=F(x)经过所有点(x,y)，而只要求ii在给定点x上误差而只要求所在所有给定点x上的误差6=F(x)-yiiiii(i=0丄2,...,m)按某种标准最小。若记6=(6,6,6，…,6)t，就是要求向量6的012m范数||6||最小。如果用最大范数，计算上困难较大，通常采用欧式范数1611作为2误差度量的标准。F(x)的函数类型往往与实验的物理背景以及数据的实际分布有关，它一般含有某些待定参数。如果F(x)是所有待定参数的线性函数，那么相应的问题称为线性最小二乘问题，否则称为非线性最小二乘问题。最小二乘法还是实验数据参数估计的重要工具。这是因为这种方法比其他方法更容易理解，即使在其他方法失效的情况下，用最小二乘法还能提供解答，而且从统计学的观点分析，用该方法求得各项估计具有最优统计特征，因此这一方法也是系统识别的重要基础。线性最小二乘问题可以借助多元微分学知识通过求解法方程组得到解答。
用最小二乘法求拟合曲线时，首先要确定S(x)的形式。这不单纯是数学问题，还与所研究问题的运动规律以及所得观测数据(x,y)有关；通常要从问题的ii运动规律以及给定数据描图，确定S(x)的形式，并通过实际计算选出较好的结果。为了使问题的提法更有一般性，通常把最小二乘法中的115||2都考虑为加权平2方和52=£①(x)S(x)-f(x)2
2 i°ii」
i=0
这里®(x)>0是［a,b］上的加权函数，它表示不同点(x,f(x))处的数据比重iii
不同。
二、计算实例
从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。
在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量y与时间t的
t(分)
()
05101520253035404550
55
y・10-4丿
拟合曲线。
1、掌握曲线拟合的最小二乘法；
2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组；
3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系
本题要求我们用爲