文档介绍：数学物理方法1-1
第五章 Legendre 多项式
§ Legendre 方程及Legendre 多项式的引出
§ Legendre 多项式的性质
§ Legendre多项式的应用
*§有外力作用时弦的振动方程为：
（**）
式（**）称为弦的受迫振动方程。
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包括有非零自由项的方程称为非齐次方程。
自由项恒等于零的方程称为齐次方程。
方程（*）为一维齐次波动方程，
方程（**）为一维非齐次波动方程。
方程（*）和方程（**）的差别在于方程（ ** ）的右端多了一个与未知函数u无关的项f(x,t)，这个项称为自由项。
（*）
（**）
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杆的质量密度为 ，横截面为S（常数），长度为
均匀弹性杆的微小纵振动
一根弹性杆中任意小段受外界影响发生纵振动，必使其相邻部分发生伸长或缩短。最终，杆上任意小段的纵振动必然传播到整根杆。这种振动的传播就是波。
弹性模量E：杆伸长单位长度所需的力
x点在t时刻的纵向位移为u(x,t) 。
外力密度为F(x,t)，
应力 ：杆在伸缩过程中各点相互之间单位截面上的作用力
：杆上x点在t时刻的应力。
应变：杆的相对伸长
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x点的应变为：
如图，AB段的相对伸长是：
由于振动是微小的，可认为不超过杆的弹性限度
由牛顿第二定律，可得[x,x+△x]段的运动方程为：
虎克（Hooke）定律：应力=弹性模量*应变
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将虎克定律 代入上式
得：
将函数 在 处展开为泰勒级数并取前两项，得：
其中， 满足
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以 除上式两端，得：
令 ，得：
记
方程变为：
——一维波动方程
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传输线方程
对于直流电或低频的交流电，基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出同一支路中电流相等。但对于较高频率的（指频率还没有高到能显著地辐射电磁波的情况），电路中的导线的自感和电容的效应不可忽略，因而同一支路中电流未必相等。
考虑一来一往的高频传输线（具有分布参数的导体）
在具有分布参数的导体中，电流通过的情况，可以用电流强度I与电压V来描述，此处I与V都是 的函数,记作 与 。
R—每一回路单位的串联电阻； L—每一回路单位的串联电感；
C—每单位长度的分路电容； G—每单位长度的分路电导。
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采用微元法
根据基尔霍夫第二定律，在长度为的传输线中，电压降应等于电动势之和，即
两边除以 ，并令 ，可得
另外，由基尔霍夫第一定律，流入节点的电流应等于流出该节点的电流，
即
可得
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即I 和V应满足如下方程组：
从这个方程组消去V (或I), 即可得到I (或V)所满足的方程。
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（1）
（2）
将方程（1）对x微分（假定V与I对x,t都是二次连续可微的），得：
同时在方程（2）两端乘以C后再对t微分，可得：
将两个结果相减，即得：
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将 代入上式，得
——电流I满足的微分方程
类似可得电压V满足的方程：
——传输线方程
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根据不同的具体情况，对参数R ,L, C, G作不同的假定，就可以得到传输线方程的各种特殊形式。
无损耗传输线：
此时传输线方程
可简化为
——无损耗传输线方程
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若令
这两个方程与一维齐次波动方程标准形式完全相同。
由此可见，同一个方程可以用来描述不同的物理现象。
一维波动方程只是波动方程中最简单的情况，在流体力学、声学及电磁场理论中，还要研究高维的波动方程。
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电磁波方程
电磁场由电场强度E，电位移矢量D，磁场强度H，磁感应强度B描述。
电磁场的规律由以下的麦克斯韦方程组表述：
其中， 是自由电荷密度， 是传导电流密度。
这组方程还必须与下述场的物质方程相联立
其中， 是介质的介电常数， 为导磁率， 为导电率。
（1-1）
（1-2）
（1-3）
（1-4）
（2-1）
（2-2）
（2-3）
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哈密顿算符：
运算规则：
是个矢量微分算子，在运算中具有矢量和微分双重性质。
梯度：标量场在这一点的最大变化率。
旋度：矢量场中某一点的最大环流量。
散度：矢量场中某一点的通量。表示源的大小。