无穷大与无穷小.ppt

文档介绍：无穷大与无穷小
练习:判断在给定趋向下,下列变量是无穷大、无穷小或两者皆非.
说明：
穷小、无穷大与自变量的变化过程有关.
、无穷大是变量,不无穷大与无穷小
练习:判断在给定趋向下,下列变量是无穷大、无穷小或两者皆非.
说明：
穷小、无穷大与自变量的变化过程有关.
、无穷大是变量,不能与很小及很大的数混淆
.
说明：


注意：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
（在自变量的同一变化过程中）
二 、无穷小的性质
有界量与无穷小量的乘积为无穷小

有界变量：y=sinu,y=cosu.
例：求
解:
[分析] 当 x → 0 时, sin(1/x) 在[-1, 1]之间摆动无极限,
但是当 x → 0 时, x 是无穷小量 ,
所以, 利用无穷小量的性质来求极限.
三、无穷小量与函数极限的关系
定理的重要意义:
1. 将极限的描述性定义转化为量化性的精确形式;
函数 f(x) 可以表示成: 极限A与一个无穷小  之和.
2. 可以作为极限运算的证明的依据.
即: 在同一变化过程中, 函数f(x)极限是A的充要条件为:
四、无穷小与无穷大的关系
定理：在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;
恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
则
为 无穷小
意义: 关于无穷大的讨论,可归结为关于无穷小的 讨论.
利用无穷小与无
穷大的关系求
极限.
错误写法：
解
[分析] 将 x → 3 代入函数中, 分子趋于10; 分母趋于 零 ,
不能直接求极限. 考虑用无穷大与无穷小关系求极限。
例
练习：
认真！
解
例
(1) y = x² - 4
解
[分析] (1) 要使 y = x² - 4 是无穷小, 即 x² - 4 → 0 , 只要
下列变量中,当x → ? 是无穷小; 当x → ? 是无穷大.
x² → 4 , 所以当 x → ±2 时 , y = x² - 4 是无穷小 .
[分析] (2)
解
五、 无穷小的阶
X
1




……

0
2x
2
1



……

0
x2
1




……

0
2
例：当x0时，x，2x，x2都是
无穷小，但它们趋于0 的速度
却不一样。
例
例：当x→0时，比较下列无穷小的阶
(求比值的极限）
解
练习：当x→∞时，比较下列无穷小的阶
解
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