文档介绍：第三节 随机变量的协方差和相关系数
协方差
相关系数
协方差矩阵
相关系数矩阵
原点矩、中心矩
第一页，共二十二页。
前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论X与Y的数学期望和方差第三节 随机变量的协方差和相关系数
协方差
相关系数
协方差矩阵
相关系数矩阵
原点矩、中心矩
第一页，共二十二页。
前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论X与Y的数学期望和方差以外，还要讨论描述X和Y之间关系的数字特征，这就是本讲要讨论的
协方差和相关系数
第二页，共二十二页。
E[ X-EX][Y-EY]称为随机变量X和Y的协方差,记为cov(X,Y) ，即
一、协方差
cov(X,Y)=E[X-EX][Y-EY]=EXY-EXEY
1) 当(X,Y)是离散型随机变量时,
2) 当(X,Y)是连续型随机变量时,
第三页，共二十二页。
(6) cov(X1+X2,Y)= cov(X1,Y) + cov(X2,Y)
(5) cov(aX, bY) = ab cov(X,Y) a, b 是常数
(7) D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2cov(X,Y)
(4) cov(aX+b, Y) = a cov(X,Y) a, b 是常数
(3) cov(X,Y)= cov(Y,X)
(2) cov(X,X)= D(X)
(1) cov(X,C)= 0, C为常数；
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协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响.
为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数 .
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二、相关系数
为随机变量 X 和 Y 的相关系数 .
定义: 设D(X)>0, D(Y)>0,
称
在不致引起混淆时，记 为 .
第六页，共二十二页。
相关系数的性质：
证: 由方差的性质和协方差的定义知,
对任意实数 b, 有
0≤D(Y-bX)= b2D(X)+D(Y)-2b cov(X,Y )
令
，则上式为
D(Y- bX)=
由于方差D(Y)是正的,故必有
1 ≥ 0, 所以 | ≤1。
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存在常数 a,b(b≠0)，
使 P{Y= a + b X}=1，
即 X 和 Y 以概率 1 线性相关.
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3. X和Y独立时， =0，但其逆不真 .
由于当X和Y独立时，cov(X,Y)= 0,
故
= 0
但由
并不一定能推出X和Y 独立.
例1 设X~N(0,1), Y=X2, 求X和Y的相关系数。
证:
第九页，共二十二页。
4. 若 ，则称X和Y（线性）不相关。
定理：若随机变量X与Y的数学期望和方差都存在，且均不为零，则下列四个命题等价：
（1） ；
（2）cov(X ,Y) = 0；
（3）E(XY)=EXEY；
（4）D(X ±Y)=DX+DY。
注： 反应了X与Y的线性关系密切程度；X与Y不相关
表明两者没有线性关系，但不等于说没有其他关系。
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但可以证明对下述情形，独立与不相关等价
若(X,Y)服从二维正态分布，则
X与Y独立
X与Y不相关
若 X 与 Y 独立，则X与Y不相关，
但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立.
独立与不相关的关系：
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三、协方差矩阵
将二维随机变量（X1,X2）的四个数量指标
排成矩阵的形式:
称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵.
这是一个非
负定对称矩阵
第十二页，共二十二页。
类似定义n 维随机变量(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵.
为(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵.
都存在, 则称
( i, j=1,2,…,n )
若
矩阵
这是一个非
负定对称矩阵
第十三页，共二十二页。
为(X1,X2, …,Xn) 的相关系数矩阵。
都存在, 则称
( i, j=1,2,…,n )
若
矩阵
四、相关系数矩阵
这是一个非
负定对称矩阵
第十四页，共二十二页。
由于
故相关系数矩阵的主对角元素均为1.
第十五页，共二十二页。
五、 原点矩和中心矩
定义 设X和Y是随机变量，若
存在，称它为X的k阶原点矩，简称 k阶矩.
存在，称它为