文档介绍：将军饮马问题
问题概述
I-J*I
L/
路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题
方法原理
…………*
1•两点之间，线段最短；2•三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边;
基本模型
3.，点P是对角线OB上的一个动点，D(0,1),当CP+DP最短时，点P的坐标为()
A.(0,0)B.(1,1)C.(6,3)，5)
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变式训练1-2
如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点0,AC=2,
BD=2V3,E为AB的中点，P为对角线AC上一动点，则PE+PB的
变式训练1-3
如图，已知直线y=已知：如图，A为锐角ZM0N外一定点；
x+1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y=1x要求：在射线0M上找一点P,在射线0N上找一点Q,使
AP+PQ的值最小.
解：过点A作AQ丄0N于点Q,AQ与0M相交于点P,此
时，AP+PQ最小；
理由：AP+PQMAQ，当且仅当A、P、Q三点共线时，
AP+PQ取得最小值AQ,根据垂线段最短，当
AQ丄0N时，AQ最小.
^bx+c与直线交于
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A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1,0).
求该抛物线的解析式；
在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM-MC|的值最大，求出点M的坐标.
拓展模型
1.
2.
已知：如图，A为锐角ZM0N内一定点;
.A
要求：在射线0M上找一点P,在射线0N上找一点Q,使
AP+PQ的值最小.
解：作点A关于0M的对称点A,过点A1作AQ丄ON
3.
于点Q,A1Q交OM于点P,此时AP+PQ最小；
理由：由轴对称的性质知AP=AZP,要使AP+PQ最小,
只需A，P+PQ最小，从而转化为拓展模型1
已知：如图，A为锐角ZMON内一定点；
要求：在射线OM上找一点P,在射线ON上找一点Q,使
△APQ的周长最小
解：分别作A点关于直线OM的对称点A-关于ON的对称点A2，连接A1A2交OM于点P,交ON于点Q,点P和点Q即为所求，此时△APQ周长最小，最小值即为线段a1a2的长度；
理由：由轴对称的性质知AP=A1P,AQ=A2Q,^APQ的周长AP+PQ+AQ=A]P+PQ+A2Q,、Q、A2四点共线时，其值最小.
4.
已知：如图，A、B为锐角ZMON内两个定点;
要求：在OM上找一点P,在ON上找一点Q,使四边形
APQB的周长最小
解：作点A关于直线OM的对称点A',作点B关于直线
ON的对称点B'，连接A'B'交OM于P,交ON于Q,则点P、点Q即为所求，此时四边形APQB周长的
最小值即为线段AB和A'B'的长度之和；
理由：AB长为定值，由基本模型将PA转化为PA'，将
QB转化为QB',当A'、P、Q、B'四点共线时，
PA'+PQ+QB'的值最小，即PA+PQ+QB的值最小.
m
N
已知：如图，直线m〃n,A、B分别为m上方和n下方的定点，（直线AB不与m垂直）
要求：在m、n之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小.
分析：PQ为定值，只需AP+BQ最小，可通过平移，使
P、Q“接头”转化为基本模型
解：如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至点A',使得AA‘=PQ，连接A，B交直线n于点
Q,过点Q作PQ丄n,交直线m于点P，线段PQ即为所求，此时AP+PQ+BQ最小.
理由：易知四边形QPAA'为平行四边形，贝^QAZ=PA，
当B、Q、A'三点共线时，QAZ+BQ最小，即
AP+BQ最小，PQ长为定值，此时AP+PQ+BQ最小.
6.
已知：如图，定点A、B分布于直线l两侧，长度为a
（a为定值）的线段PQ在l上移动（P在Q左边）要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小分析：PQ为定值，只需AP+QB的值最小，可通过平移，
使P、Q“接头”转化为基本模型
解：将点A沿着平行于l的方向，向右移至A',使
AA'=PQ=a,连接A'B交直线l于点Q,在l上截取
PQ=a（P在Q左边），则线段PQ即为所求，此时
AP+PQ+QB的最小值为A'B+PQ，即A'B+a
理由：易知四边形APQA'为平行四边形，贝9PA=QA',
当A'、Q、B三点共线时,QA'+QB最小，即PA+QB
最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小.
7.
A
已知：如图，定点A、B分布于直线l的同侧，长度a
（a为定值）的线段PQ在l