文档介绍：第二型曲线积分与曲面积分的计算方法
摘要：本文主要利用化为参数的定积分法,格林公式,积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系,分面投影法,合一投影法,高斯公式解
答第二型曲面积分的题目.
关键词：曲面积分；s/cosp,cos¥是有向曲面工上点〔x,y,z〕处的法向量的方向余弦.
解：n-：x,y,-1〕,
,
n=tcos：,cos：,cos:
二；——,下z]
x2y21x2y21x2y2
_..2x-11.
“(z+xdydz-zdxdy=H(z+x)-^==-z',————-ds
ZZL,1+x2+y2V1+x2+y2」
z2xx2zx2z
二zX—x—z=x一z—ds
▼.1x2y2▼1x2y2
x2-x2y2
=2
d_1x2y2
,1x2y2dxdy
0
dn
2!o
方法二：分面投影法
如果工由z=z〔x,y怡合出,那么
IlRx,y,zdxdy:-11R||x,y,zx,ydxdy
、Dxy-
如果z由x=x(y,z)给出,那么
Px,y,zdydz=Ppy,z,y,zdydz3
'、Dyz-
如果工由y=y〔z,x〕给出,那么
iiQx,：:11Q||x,yz,x,zdzdx4
-Dzx一
等式右端的符号这样规定：如果积分曲面Z是由方程
x=xz,yy=yx,z,z=zx,y
所给出的曲面上〔前,右〕侧,应取“+〞,否那么取“-
解：zxdydz-zdxdy=zxdydz11zdxdy
zzz
222
=zxdydz=zxdydz,11izxdydz
iiiz2,2z-y2dydziiiz2-_2z-y2dydz
DyzDyz
22
-2ii2z-ydydz=4°dyy22z-ydz=4'
Dyz万
1oo12-2.
zdxdy=--xydxdy=0cT0rdr=-4二
'2Dxy2
2
所以zxdydz-zdxdy=8-
Z
方法三：合一投影法
前面我们看到,按分面投影发计算曲面积分时,对不同类型的积分项必须将曲面用不同的方程表示,然后转化为不同坐标面上的二重积分,这种方式形式上虽然简单但计算比拟繁琐.
事实上,如果上的方程z=z〔x,y〕,〔x,y"Dxy,〔Dxy是Z在xoy面上
的投影区域〕,函数P,Q,R在工上连续时,那么单位法向量为
e=icos：,cos：,cosJ
:二,^=Zx2,^=Zy2,^^12
Zx^
由于投影元素dydz=cosads,dzdx=cosdds,dxdy=cos尸ds,于是得到
所以
dydz=cos：ds=
dzdx=cos:ds=
cos：,cos：
cosds:
coscos
cos:,cos:
cosds=
dxdy=-Zxdxdy
cos
cos
dxdy--Zydxdy
11Px,y,zdydzQx,y,zdzdxRx,y,zdxdyZ
=-.'P||x,y,zx,y)：『Zxx,yQ||x,y,zx,y)：卜Zyx,yR||x,y,zx,yZdxdyDxy
=...P-ZxQ-ZyRdxdy
Dxy
等式右端的符号这样确定：如果工是由方程所给