文档介绍：2001年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题解析
一、填空题（本题共5小题，每小题3分，.）一一、3x
lim
x1一2
【考点】洛必达法则
【难易度】★★
【详解】解析：方法一:
3x1
(D)
3.
【答案】C【考点】函数图形的拐点
超级狩猎者
【难易度】★★【详解】解析:
y2(x1)(x2y2(x3)22(x3)
22=3)2(x=3)(x—i)
4(x1)(x3)4(x
8(x1)(x3)2(xy4(x3)8(x3)8(x1)4(x23)(x1)2(x1)
21)1)24(x2)
由y"=0得，x=1或x=3,带入y'h0,故f(x)有两个拐点(4)已知函数f(x)在区间(1-5,1+6)内具有二阶导数，f'(x)严格单调减少，且f(1)=f(1)=1,则()(A)在(1-5,1)和(1,1+6)内均有f(x)<x.
(B)在(1-6,1)和(1,1+6)内均有f(x)>x.
在(1-6,1)内，f(x)<x，在(1,1+&)内，f(x)>x.
,.―R八内，.，(1-°,1)f(x)又(1,1饵，f(x)x.<【答案】A【考点】函数单调性的判别【难易度】★★★【详解】解析：令F(x)=f(x)-x，贝UF'(x)=f'(x)—1,因为在区间(1-6,1+5)上，f'(x)严格单调减少,所以当x^(1-6,1)时，F'(x)>f'(1)-1=0,F(x)单调递增,F(x)<F(1)=f(1)-1=0；当x己(1,1+8)时，F'(x)<f'(1)-1=0,F(x)单调递减,F(x)sF(1)=f(1)-1=0;故在(1一5,1)和(1,1+5)内均有F(x)<0,即f(x)<x.
)设函数在定义域内可导，它的图形如下图所示，则其导函数(5f(x)yf(x)的图形为
X
(A|(D)【答案】D【考点】函数单调性的判别【难易度】★★★
【详解】解析：由图可知f(x)有两个极值点，横坐标分别记作X1X2X1X2，故f(x)在
且仅在这两处的值为
0，故选D。其中，当x0时，f(x)先增后减再增，故f(x)先正再负再正，进一步排除B.
三、J~:6分)，+J+十dx求2x(2x1)21
【考点】不定积分的第二类换元法
【详解】解析：设xtanu,则dxsec*2udu,
原式
cosudu
22
2sinucosu
dsinu2sinu1arctan(sinu)
四、(本题满7分)xsint求极限txlimsinsin，记此极限为f(x)，求函数f(x)的间断点并指出其类型.
()tsinxx【考点】两个重要极限、函数间断点的类型【难易度】★★★sint
sinxsintsinxxsint【详解】解析:f(x)
T
sint
1)sintsinxsinxsintsinx
sin
sinx
p=p
由此表达式知
由于lim(
lim(
t
x
sin
x
k(k=±1,
lim(1
t
sinx
x
)limesin
x
±2,
P
?)都是f(x)
PP
的间断点.
fx
x_0x0
x=0是
f(x)的可去(或第一类)间断点；而
均为第二类
(或无穷)
间断点.
五、(本题满7分)设(x)是抛物线y
x上任一点M(x,y)(x1)处的曲率半径,
ss(x)是该抛物线
上介于点
A(1,1)与M之后长，谆3
2
d
2
ds
(dj的值.(在直角坐标系下曲率公式
P=P
|yI
(1
【考点】曲率步径、定积分的几何应用一平面曲线的弧长、由参数方程所确定的函数的导数*+*
【难易占】=上£走=广V1'—1抛物线在点M(x,y)处的曲率半径
【详解】解析:y',y,32x4x(4x
抛物线上AM的弧长dx.
ss(x)1y'dx1
1ix
432d13
(4x1)4dx226.
xds
ds11dx4x
d
d
16
1
6
)
—了[ds
1
11r\
.2
dx
ds
X
X
P
2
1
14
(
dsdx)
因此六、
4x
36x9.
2
ds
ds
14x
(本题满分
7分)
设函数f(X)在［0,
)上可导,
f(0)
0，且其反函数为g(x).若
【考点】积分上限的函数及其导数、
X)
g(t)dt
一阶线性微分方程
.
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
—+
()d
gtt
0
++=-
g(f(x))f(x)2xe
=+=
T
(
gf