文档介绍：第 29 讲抽屉原理(一) 如果将 5 个苹果放到 3 个抽屉中去,那么不管怎么放,至少有一个抽屉中放的苹果不少于 2 个。道理很简单,如果每个抽屉中放的苹果都少于 2个, 即放 1 个或不放, 那么 3 个抽屉中放的苹果的总数将少于或等于 3 ,这与有 5 个苹果的已知条件相矛盾,因此至少有一个抽屉中放的苹果不少于 2 个。同样,有5 只鸽子飞进 4 个鸽笼里, 那么一定有一个鸽笼至少飞进了 2 只鸽子。以上两个简单的例子所体现的数学原理就是“抽屉原理”, 也叫“鸽笼原理”。抽屉原理 1: 将多于 n 件的物品任意放到 n 个抽屉中, 那么至少有一个抽屉中的物品不少于 2 件。说明这个原理是不难的。假定这 n 个抽屉中,每一个抽屉内的物品都不到 2 件,那么每一个抽屉中的物品或者是一件, 或者没有。这样,n 个抽屉中所放物品的总数就不会超过 n件, 这与有多于 n 件物品的假设相矛盾, 所以前面假定“这n 个抽屉中,每一个抽屉内的物品都不到 2件”不能成立,从而抽屉原理 1 成立。从最不利原则也可以说明抽屉原理 1 。为了使抽屉中的物品不少于 2件, 最不利的情况就是 n 个抽屉中每个都放入 1件物品, 共放入 n 件物品, 此时再放入 1 件物品, 无论放入哪个抽屉, 都至少有 1 个抽屉不少于 2 件物品。这就说明了抽屉原理1。例1 某幼儿园有 367 名 1996 年出生的小朋友,是否有生日相同的小朋友? 分析与解: 1996 年是闰年,这年应有 366 天。把 366 天看作 366 个抽屉,将 367 名小朋友看作 367 个物品。这样,把 36 7 个物品放进 36 6 个抽屉里, 至少有一个抽屉里不止放一个物品。因此至少有 2 名小朋友的生日相同。例2 在任意的四个自然数中,是否其中必有两个数,它们的差能被 3 整除? 分析与解: 因为任何整数除以 3 ,其余数只可能是 0,1,2三种情形。我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”。一个整数除以 3 的余数属于哪种情形, 就将此整数放在那个“抽屉”里。将四个自然数放入三个抽屉,至少有一个抽屉里放了不止一个数,也就是说至少有两个数除以 3 的余数相同。这两个数的差必能被 3 整除。例3 在任意的五个自然数中, 是否其中必有三个数的和是 3的倍数? 分析与解: 根据例 2 的讨论, 任何整数除以 3 的余数只能是 0, 1,2。现在, 对于任意的五个自然数, 根据抽屉原理, 至少有一个抽屉里有两个或两个以上的数,于是可分下面两种情形来加以讨论。第一种情形。有三个数在同一个抽屉里,即这三个数除以 3 后具有相同的余数。因为这三个数的余数之和是其中一个余数的 3 倍,故能被 3 整除,所以这三个数之和能被 3 整除。第二种情形。至多有两个数在同一个抽屉里,那么每个抽屉里都有数,在每个抽屉里各取一个数,这三个数被 3 除的余数分别为 0,1,2 。因此这三个数之和能被 3 整除。综上所述,在任意的五个自然数中,其中必有三个数的和是3 的倍数。例4 在长度是 10 厘米的线段上任意取 11 个点, 是否至少有两个点,它们之间的距离不大于 1 厘米? 分析与解: 把长度 10 厘米的线段 10 等分, 那么每段线段的长度是 1 厘米(见下图)。将每段线段看成是一个“抽屉”,一共有 10 个抽屉。现在