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数列知识点题型方法总复习
」.数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限列｛an｝、｛bn｝的前n和分别为A、Bn，且含f（n），则
an(2n1)anA?n1
bn(2n1)bnB2n1
Bn
f（2n1）.如设｛an｝与｛bn｝是两个等差数列，它们的前n项和分别为
Sn和Tn，若竝二，那么也（答:空2）
Tn4n3bn8n7
7 •“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，
前n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组an0或an0确定出前多少项
an10an10
为非负（或非正）；法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nN*。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此
你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列｛an｝中，ai25,SgS7，问此数列
前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）;
（2）若｛an｝是等差数列，首项a10,a2003a20040,a2003a20040，则使前n项和Sn0成立的最大正整数n是（答：4006）
8 •如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列
的公差是原两等差数列公差的最小公倍数•注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即
研究anbm.
四•等比数列的有关概念：
1•等比数列的判断方法:
定义法弓』q（q为常数），其中q0,an0或色口
an1
anan
（n2）。如（1）一个等比数列｛an｝共有2n1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an1为
5
（答:-）；（2）数列｛an｝中，Sn=4an1+1（门2）且a1=1，若bnan12an，求证：数列
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｛bn｝是等比数列。
2•等比数列的通项：anaen1或anamqnm。如设等比数列｛%｝中，,a?an1128,
1
前n项和Sn=126,求n和公比q.（答：n6,q—或2）
2
3•等比数列的前n和：当q1时，Snna,;当q1时，Sn印(1q)印辭。如
1 q1q
(1) 等比数列中，q=2,S99=77，求a3a6a99=44
10n
(2) (C：)的值为(答:2046);
n1k0
特别提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比
q是否为1,再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q1和q1两种情形讨论求解。
4•等比中项：若a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个,ab。如已知两个正数a,b(ab)的等差中项为A,
等比中项为B,则A与B的大小关系为(答：A>B)
提醒：(1)等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；(2)为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，-02,-,a,aq,aq2…(公比为q);
qq
但偶数个数成等比时，不能设为…刍，旦，aq,aq3，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可
qq
如此设，且公比为q2。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与
第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求此四个数。(答：15,,9,3,1或0,4,8,16)
等比数列的性质：
1•当mnpq时，则有amg3napgaq，特别地，当mn2p时，(1)在等比数列｛an｝中，a3a8124,8487512，公比q是整数，则氐=—(答512)；
(2)各项均为正数的等比数列｛an｝中，若a5a69，则log3log3a2Llog3a1010
2. 若｛an｝是等比数列，则｛|an|｝、｛apnq｝(P,qN*)、｛kan｝成等比数列；若｛an｝、｛bn｝成等比数列，
则｛anbn｝、｛严｝成等比数列；若｛an｝是等比数列，且公比q1，则数列Sn,S2n5忌S?n,…也是等比数列。当q1，且n为偶数时，数列Sn,S2nSn,S3nS2n，…是常数数列0,它不是等比数列•女口(1)已知a0且a1,设数列｛xn｝满足logaxn11logaxn(nN*),且x1x2Lx100100