数列求和方法总结.docx

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数列求和方法总结
1直接求和
适用于等差数列或等比数列的求和（指前n项和）问题,在四个量a「d: .
数列求和方法总结
1直接求和
适用于等差数列或等比数列的求和（指前n项和）问题,在四个量a「d（或q）,n,an中,已知三个量时,可以求出Sn来，我们简称为“知三求和”问题•它们的求和问题可以直接利用求和公式解决•
等差数列前n项和公式：已知a1,n,an时，利用公式
Sn^1办求和；
2
已知ai，d,n时，利用公式Snnai皿丄d求和•
2
等比数列前n项和公式：已知a1,n,q时，利用公式
n
5=(qD求和;
已知a1,q,an时，利用公式Sn
邑裁心1）求和•
1q
n1
J_厂.
此式可看为一个等比数列的前n项和，且此等比数列首项为
1
1,公比为1,故可直接运用等比数列前n项和公式
2
Sn
印(1qn)(
q1)
求和•
(1)n
2n
(1)n
解Sn
2n
11
2
例2一个等差数列的前n项和等于m,前m项和等于n（其中mn）,试求这个数列的前mn项和.
根据等差数列前n项和公式运用所需的条件最好先求出数列首项ai与公差d,然后运用Snnainn1d求和.
2
解设这个数列的首项为a,公差为d,根据已知条件，有
na3d
2
由此得a
ma—
d
n
⑵
2
mnd/
1)
(m1)
n得
2(n
=m
因为n
m,所以d
2(m
n)
mn
2m
2
mnn
m
n
(1)
1m2
2n2.
于是,这个数列的前m
Smnmn
mn
n项和为
mnmn1,d2
22
mmnn
mn
mn
mn
2转化求和
适用于不是等差数列或等比数列，不便直接求其前n项和的数
列.
倒序相加法
将Sna1a2
an与Sn
anan1
a1两式相加,如
果得到一个常数列
例3已
,其和为A,那么Sn
A
2*
知f
X满足x1,
x2R
,当X1X21
时
J
fX1fx2
1
2
,若
Sn
f0f-
fZ
fn1
f1,n
N,求Sn.
n
n
n
由fX1f
X2
1
-知只要自变量
X1X2
1即成立，又知
2
01
,1n1
1
1,…
•,则易求Sn.
nn
解
因为Snf
0f
1fZ
fn1
f1,①
nn
n
所以Snf
1f
n1f
丄f0.
②
n
n
①+②,得
2Sn
f0
f1f-
f--
f1f0
n
n