文档介绍：协方差和有关系数公式
探究协方差和有关系数
罗燕
摘要：协方差Cov是描述二维随机变量两个分量间互相关联限度的一种特性数，如果将协方差相应原则化变量就得到有关系数Corr。从而可以引进有关系数Corr去刻画二维随机变协方差和有关系数公式
探究协方差和有关系数
罗燕
摘要：协方差Cov是描述二维随机变量两个分量间互相关联限度的一种特性数，如果将协方差相应原则化变量就得到有关系数Corr。从而可以引进有关系数Corr去刻画二维随机变量两个分量间互相关联限度。且事实表白，有关系数明显被广泛应用。本文的目的在于从协方差和有关系数的关系的角度去探讨协方差和有关系数的优缺陷，并具体简介协方差和有关系数这两个描述二维随机变量间有关性的特性数。 核心字：协方差Cov 有关系数Corr 互相关联限度
1 协方差、有关系数的定义及性质
设是一种二维随机变量，若E{ [ X-E ] [ Y-E ] }存在，则称此数学盼望为X和Y的协方差，并记为Cov=E{ [ X-E ] [ Y-E ] }，特别有Cov=Var。
从协方差的定义可以看出，它是X的偏差“X-E ”和Y的偏差“Y-E”的乘积的数学盼望。由于偏差可正可负，故协方差也可正可负，也可为零，其具体体现如下：
·当Cov>0时，称X和Y正有关，这时两个偏差 [ X-E ] 和[ Y-E ] 同步增长或同步减少，由于E和E所有是常数，故等价于X和Y同步增长或同步减少，这就是正有关的含义。
·当Cov
·当Cov=0时，称X和Y不有关。
也就是说，协方差就是用来描述二维随机变量X和Y互相关联限度的一种特性数。协方差Cov是有量纲的量，譬如X表达人的身高，单位是米，Y表达人的体重，单位是公斤，则Cov带有量纲。为了消除量纲的影响，对协方差除以相似量纲的量，就得到一种新的概念—有关系数，它的定义如下：
设是一种二维随机变量，且Var>0,Var>
Cov
Cov Corr==σxσ y
为X和Y的有关系数。
运用施瓦茨不等式我们不难得到-1≤Corr≤-1到1之间的，并且可以对它作如下几点阐明：
·若Corr=0，则称X和Y不有关。不有关是指X和Y没有线性关系，但也有也许有其他关系，例如平方关系、立方关系等。
·若Corr=1，则称X和Y完全正有关；若Corr=-1，则称X和Y完全,负有关。
·若0
2 协方差和有关系数的一致性
从协方差和有关系数的定义和性质我们不难发现，协方差和有关系数所有是反映X和Y有关限度的量。也就是说，她们有异曲同工之效。在刻画二维随机变量两个分量间互相关联限度时，她们保持了一致性。这一点我可以给出如下两个例子来阐明。
例一 设随机变量X和Y独立同服从参数为λ的泊松分布，令
U=2X+Y， V=2X-Y。
求U和V的协方差及有关系数。
解：由于
Var=Var=5λ，Var=Var=5λ.
因此
Cov=Cov
=Cov+Cov-Cov-Cov
=3λ
由此得
Corr=Cov
=3λ
5λ=3
5
服从参数为λ的泊松分布