文档介绍：: .
立体几何中的向量方法
立体几何中的向量方法
适用学科
高中数学
适用年级
高求法三：用行列式求得法向量.
若niXmn,n2x2,y2,z2是平■面内两个不共线向量，ijk计算行歹0式xiyizi=aibjck,x2y2z2则平面的法向量为na,b,c.
考点2用空间向量求解二面角
（一）用法向量解二面角
用法向量求解二面角时遇到一个难题：二面角的取值范围是[0,],而两个向量的火角取值范围也是[0,],那用向量法算出的角是二面角的平■面角呢还是它的补角？如果是求解异面直线所成的角或直线与平■面所成的角，只要取不超过2的那个角即可，，总结出一个简单可行的方法，供读者参考.
用法向量解二面角首先要解决的问题就是：两个法向量所夹的角在什么情况下与二面角大小一致？其次，如何去判断得到的法向量是否是我们需要的那个方向？uruu
对第一个问题，我们用一个垂直丁二面角棱的平■面去截二面角（如图一），两个平面的法向量n1,，当同为逆时针方向或同为顺时针方向时，，我们只需要沿着二面角棱的方向观察，，起点在半平面上的法向量，如果指向另一个半平面，则称为向内”的方向；否则称为向外””，而另一个向外”.
对第二个问题，，我们可以选择其中一个坐标轴（如z轴），通过前面的办法，可以确定法向量的方向，再观察该法向量与xOy平面的关系，是自下而上穿过xOy平'面呢，还是自上而下穿过xOy平面？若是第一种情形,贝U；与~Oz所夹的角是锐角，只需取法向量的z坐标为正即可；若是第二种情形，贝U^zOx
与OZ所夹的角是钝角，■行，则可以选取其它如yOz平'面、平■面观察.
（二）用半平■面内的向量解二面角
由二面角的平■面角定义，由棱上一点分别在两个半平■面内作棱的垂线，这样构成的角即为二面角的平■（如图），起点在棱上且均垂直丁棱，可以看出，这两个向量所夹的角，，其优点是向量的方向已经固定，不必考虑向量的不同方向给二面角大小带来的影响.
考点3空间直线与空间平面的向量形式
在平面解析几何中，曲线上的动点可以用坐标表示，通过对变量的运算达到求值、，直线、平面上的点也可以用参数来表示，通过对参数的运算，同样可以达到求值、证明的目的.
：如果l为经过已知点A且方向向量为a的直线，那么点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足uunr等式APta,或对任一点O（通常取坐标原点），有uuruuur
OPOAta
这是空间直线的向量形式.
：空间一点P位丁平■面MAB内的充要条件是存在有序实数对s、t,使uuuuuuruuuMPsMAtMB,或对空间任一定点O（通常取坐标原点），有uuuuuuruuuuuurOPOMsMAtMB.
这是空间平■面的向量形式.
14
四、例题精析
【例题1】如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SDX底面ABCD,E、F分别是AB、SC的中点。
(I)求证：EF
//平面SAD;
(H)设SD=2CD,求二面角A—EF—D的大小;
【解析】（1）如图，建立空间直角坐标系Dxyz.
设A(a,0,0),S(0,0,b),则B(a,a,0)C(0,a,0),a,0,—2
aab皿Ea,—,0,F0,—,—,EF222
xbUU-T取SD的中点G0,0,—，见JAG2a,0,bUUTUULTEFAG,EF//AG,AG平面SAD,EF平面SAD,
所以EF//平面SAD.
1 1(2)不妨设A(1,0,0)，则B(1,1,0)C(0,1,0)S(0,0,2)E1,—,0,F0-1.
2ur平面AEFG与x轴、z轴的交点分别为A(1,0,0)、G(0,0,1),与y轴无交点，则法向量n〔(10,1)，在CD延长线上取点H,使DH=AE,WJDH直AE,所以AH//ED,由(1)可知AG//EF,所以平面AHG//平面EFD，平面AHG与x轴、y轴、1uu
z轴的交点