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立体几何知识点总结
立体几何知识点总结
1、多面体(棱柱、棱锥)的结构特征
底耐
(1) 这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。
（10）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。
3、线面平行的判断：
（2）、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（5）、两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
判定定理：
a/ib'（线线平行n线面平行）性质定理：
alia'占仁尸《线面平行n线线平行）★判断或证明线面平■行的方法
⑴利用定义（反证法）：II，则iIIa（用于判
断）；
⑵利用判定定理：线线平行1=线面平行（用于证明）；
⑶利用平面的平行：面面平行=线面平行（用
于证明）;
⑷利用垂直于同一条直线的直线和平面平行（用于判断）。
2线面斜交和线面角：lPa=（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面***影的夹角0O
：晚[0:90]
注意：当直线在平面内或者直线平行于酬
时，6=0；"当直线垂直于平面时，e=90°
4、线面垂直的判断：
如果两条平行线中的一条垂直于一个平那么另一条也垂直于这个平面。
一直线垂直于两个平行平面中的一个平它也垂直于另一个平面。
⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
（11）
面，
（14）
面，
（16）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。
判定定理：，'电A仁（IaC\b—0/Cff（戏线垂仃=坂血垂宣）/1ulib性质定理：(1)若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。
(戏面垂直二＞线线垂自)(2)垂直于同一平面的两直线平行心心宜n"剖即：
★判断或证明线面垂直的方法
⑴利用定义，用反证法证明。
⑵利用判定定理证明。
⑶一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面。
⑷一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个。
⑸如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面。
★
(1)三垂线定理及其逆定理已知POXa,斜线PA在平面a内的射影为
OA,a是平面a内的一条直线。
①三垂线定理：若a±OA,贝M/
PA。即垂直射影则垂直斜线。
②三垂线定理逆定理：若a£PA,则a±OA即垂直斜线则垂直射影。
(2)三垂线定理及其逆定理的主要应用=垂线定理
① 证明异面直线垂直；
② 作出和证明二面角的平面角；
③ 作点到线的垂线段。
5、面面平■行的判断：
⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。
(13)垂直于同一条直线的两个平面平行。
6、面面垂直的判断：
(15)一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
(线面垂直n画面孽直)
判定定理：
性质定理:
⑴若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°;
(2)口］。n1(由iwi垂有n线iLi案白)«crzalAH(3)
av(iAgUAeaa±fi
tr_L/?
(4)
面面垂直性质3
(二)、其他定理：
(1) 确定平面的条件：①不公线的三点；⑶育线和直线外一点:③相交直线：
(2) 相交；平行；
直线与直线的位置关系：
异面：
直线与平面的位置关系：在平面内：平行:相交(垂育是它的特殊情况)；平面与平面的位置关系：相交；；平行;
等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
(3) 射影定理(斜线长、射影长定理)：从平面
外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短。
(4) 最小角定理：斜线与平面内所有直线所成
的角中最小的是与它在平面***影所成的角。
(5) 异面直线的判定：
① 反证法；过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线。
(6) 过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内。
(7) 如果一直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交线。