文档介绍：: .
线性代数总结概念、性质、定理、公式必须清楚,
解法必须熟练，计算必须准确
A可
,An
V两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘A22A22B221,2,,n线性表An1A%
*BA(1)mnAB
B
AB
B
(
矩咐程的解法(A
0):设法化成⑴AX
B或
(II)
XAB
(I)的解法：构造(AMB)
初等行变换
(EMX)
(II)的解法：将等式两边转置化为
atxt
BT,
分块对角阵的伴随矩阵:
*用⑴的方法求出xt,再转置得X1)mnBA
①零向量是任何向量的线性组合，零向量与任何同维实向量正交单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关.(向量个数变动)(向量维数变动)
④原向量组无关，接长向量组无关；接长向量组相关，原向量组相关.
⑤两个向量线性相关
对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关
P教材114
⑥向量组
1,2,
n中任一向量i(1<i<n)都是此向量组的线性组合
⑦向量组
1,2,
n线性相关向量组中至少有一个向量可由其余n
1个向量线性表示.
向量组
1，2，
n线性无关向量组中每一个向量i都不能由其余
n1个向量线性表示.
⑧m维列向量组
1,
2,,n线性相关
r(A)n；
m维列向量组
1,
2,,n线性无关
r(A)n.
1,2,
n线性无关，而
1,2,
线性相关，则可由
1,
2,,n线性表示，且表示法唯一.
⑩矩阵的行向量组的秩列向量组的秩
行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后
,且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵
?矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩，且不改变列向量间的线性关系;矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩，且不改变行向量间的线性关系即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩
V矩阵的初等变换和初等矩阵的关系:
对A施行一次初等⑰变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵乘A；
对A施行一次初等例)变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵©乘A.
(A)r
|矩阵的秩如果矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意r1阶子式均为零，则称矩阵向量组的秩向量组
2,L,n的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩
.记作r(1,2,L,n)
|矩阵等价A经过有限次初等变换化为
：A%B
向量组等价
1,2,
,n和1,2
,,n可以相互线性表示
.记作：1,2,,
n%1,2,,n
?矩阵A与B等价
PAQB
,P,Q可逆r(A)
r(B),A,B为同型矩阵
A,B作为向量组等价，即：秩相
等的向量组不一定等价.
矩阵A与B作为向量组等价
r(1,2,,n)r(
1,2,,n)r(1,2,
n,1,2,,n)
矩阵A与B等价
?向量组
1,2，，
s可由向量组
1,2,,n线性表示
AXB有解
r(
1,2,,
n)=r(1,2,
n,1,2,,s)
r(1,2,,s)wr(1,
2,,n).
?向量组
1,2,,
s可由向量组
1,2,,n线性表示
,且sn,贝U1，2，，
s线性相关.
向量组
1,2,,
s线性无关，且可由1,2,,n线性表示，则S<n.
?向量组
1,2,,
s可由向量组
1,2,,n线性表示
,且r(1,2,,s)r(
1,2,,n)，则两向量组等价；
P教材94，例10??向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定若两个线性无关的向量组等价
，则它们包含的向量个数相等
设A是mn矩阵,若r(A)
m,A的行向量线性无关;
若r(A)
n,A的列向量线性无关，即:
n线性无关.
V矩阵的秩的性质:
①若AOr(A)>1若AOr(A)0vr(Amn)<min(m,n)
②r(A)r(AT)r(ATA)P教材101,例15
③r(kA)r(A)若k0
④若Amn，Bns，若「(AB)0r(A)r(B)nB的列向量全部是Ax0勺解