文档介绍：§ 微积分基本定理一、变限积分与原函数二、微积分基本定理(牛顿-莱布尼茨公式) 一、变限积分与原函数? xaxxfd)( )(?? xattf,d)()(?? xattfx?记称为变上限的积分.,],[)( 上连续在区间设函数 baxf,],[ 上任意变动在区间如果上限 bax ,],[bax?,, 定积分有一个对应值值则对于每一个取定的 x.],[ 上定义了一个函数所以它在 )( 称为变下限的积分? bxttf 变上限的积分与变下限的积分称为变限积分. 类似地, 定理 .],[ d)()(,],[)( 上的连续函数是则上可积在设 ba xtfxFbaxf xa??证明内处处连续, 在只证),()(baxF, 设),( 0bax?????????? 00d)(d)()()( 00 xa xxattfttfxFxxF???? xxxttf 00d)( . 处的左连续类似可证处的右连续和对于 bxax??, 0xx?的任一改变量对于时, 当),( 0baxx???上可积必有界, 在由于],[)(baxfxMttfxFxxF xxx????????? 00d)()()( 00从而推得)()( lim 000xFxxF x?????的任意性, 由 0x论上的可导性有下面的结在关于],[d)(battf xa?,],[)(baxMxf??, 设.),(d)()( 内处处连续在知battfxF xa??式可知和由性质)36(?定理 )12 6(],[ ),()d)(()( ],[ d)()(,],[)(????????? baxxfttfxF ba ttfxFbaxf xa xa 上连续可导,且在则上连续在设证明, 使得的改变量给定设),( ,,),( 0 00baxx xxbax?????????????? xxxttfxx xFxxF 00d)( 1)()( 00,0时当??x 由积分中值定理可知, 之间,使得与介于存在 xxx?? 00?)(d)( 1 00?fttfx xxx?????, 时, 从而当 00xx????)()( lim )()( lim 00 000xffx xFxxF x x???????????即)()( 00xfxF??内处处可导, 在的任意性,可知由),()( 0baxFx 点的连续性,可得在由 0)(xxf.),()( 内连续在且其导数 baxf 推论 )13 6()( )]([)( )]([)d)(( ],[,)( ),( ],[)( ),(,],[)( )()(?????????? xaxafxbxbfttf baxbxbxaa baxbxabaxf xbxa 则成立上可导且在上连续在设证明,d)()(?? xattfxF设?????)()( )()(d)(d)(d)( xbxa xba xaattfttfttf )]([ )]([xaFxbF??. )13 6()12 6( 成立知及复合函数求导法则可再由公式??可知则由性质 例1 求下列极限连续函数; 内的是其中),()(, d) )(( lim )1( 2 00???????xfx ttxtf d) (arctan lim )2( 2 0 2x tt xx?????解由于)1(?????? xxxtttfttfxttxtf 000d)(d)(d) )(( 且0d)( lim 00??? xxttf 2 000 2 00d)(d)( lim d) )(( lim x tttfttfx x ttxtf xxx xx????????x ttf xx2 d)( lim 00???.)0(2 1f?)( lim 2 1 0xf x??因此由洛必达法则及可知 .)12 6(??? xt 1 2d)1 (arctan ?? xtt 1 2d) (arctan )1(16 π 2??x 因此??????? xxtt 0 2d) (arctan lim 由洛必达法则可得 2 22 0 21 ) (arctan lim 1 d) (arctan limx x xx tt x xx??????????.4 π 2?时, 当??? x)2(????? x xtttttt 1 2 10 2 0 2d) (arctan d) (arctan d) (arctan ,这时必有 1?x