文档介绍：55
引 言
为了研究行数、列数较高的矩阵，常常对矩阵采用分块的方法。类似于集合的划分，是把矩阵完全地分成一些互不相交的子矩阵，使得原矩阵的每一个元落到一个分快的子矩阵中。=
证 因为
(7)
(8)
由引理,(7)和(8)两边各取行列式,并由于
故由(7)和(8)得==
即 =
注意:在利用这个命题计算n阶行列式时,需要根据具体情况,把原行列式的元素组成的矩阵分成两项,其中一项是n阶可逆矩阵A,该矩阵一般选为对角矩阵,则其行列式和逆矩阵比较容易求出;另一项是n维列向量α与β组成的乘积这种分法是利用命题4计算n阶行列式的难点,它需要具有较强的观察能力.
例5 计算下列n阶行列式:
①D=
②D=
8
解 ①令 A= α=
则有
显然有D=|A+|. 再由于|A|=(-1)·n!,且=(1,2,…,n)
-n
从而由命题4知:
D=|A+|=|A|(1+)
=
②令A=
则有 ==
且D=|A+| 再由于|A|=,且
=
9
从而由命题4知:
D=|A+|=|A|(1+)=
10
第三章 分块矩阵在证明矩阵秩的性质上的应用
引理1 矩阵乘积的秩不大于每一个因子的秩，两个因子中有一个是可逆的，它们乘积的秩等于另一个因子的秩。
引理2 秩A+秩B≤秩
引理3 秩=秩=秩A+秩B
引理4 秩=秩
引理5 秩(A +B)≤秩A+秩B
性质1秩(A +B)≤秩[A B]≤秩A+秩B。其中A ,B均为m ×n矩阵。
证明 因为=
于是由引理1得秩(A +B)=秩秩=秩[A B]
又因为秩秩 于是由引理1及3得
秩[A B]=秩秩A+秩B
综上证明即得 秩(A +B)≤秩[A B]≤秩A+秩B
证毕。
性质2设A为s ×n矩阵，则有，秩()-秩()=n-s
证明
因为=
于是由引理1、3、4得
秩=秩=秩()+n (1)
11
又因为=
同理可得 秩=秩=秩() +s （2）
（1）、（2）式相减即得秩()-秩()=n-s
证毕。
性质3设A为m ×n矩阵，是从A中取s行得到的矩阵，则秩≥秩A +s -m
证明 不妨设sA是A的前s行，而后m -s行构成的矩阵为B，则
A ==+
于是由引理5得 秩A≤秩+秩=秩+m-s
证毕。
性质4设A为m ×n矩阵，B是A的一个s ×t矩阵，则秩B≥秩A +s -m
证明 不妨设B位于A的左上角，且设
A==+
于是由引理5得 秩A≤秩+=秩+秩
由性质3秩秩B+m –s 又因为 秩n -t
所以，秩A≤秩B +m -s +t -n，即，秩B≥秩A +s +t -m –n
证毕。
性质5 已知，秩(AB)=秩B，试证对任意可右乘矩阵C，有秩(ABC)=秩(BC)
证明 由引理1得，秩(ABC)≤秩(BC)，因为
=
于是由引理1、4得
12
秩(AB)+秩(BC)≤秩=秩=秩
=秩(ABC)+秩B从而有，秩(ABC)≥秩(AB)+秩(BC)-秩B
又已知，秩(AB)=秩B，代入上式得，秩(ABC)≥秩(BC)
所以，秩(ABC)=秩(BC)证毕。
推论 设A为n阶矩阵，证明秩 =秩=秩=
证明 因为n=秩E=秩≥秩A≥秩≥秩≥秩≥0,于是必有正整数k(0≤k ≤n)使，秩=秩，由性质5得，秩 =秩=秩=
性质6 设A, B, C ,D皆为n阶矩阵，AC =CA ,AD =CB,且0,若
G=则有，n≤秩G<2n。
证明 因为A≠0,所以秩G ≥n，且存在，又=
所以==
又因为=D-CBD-=D-D=0从而G=0，因此，秩G<2n，又A≠0,所以，秩G ≥n，综上得证。
利用分块矩阵证明矩阵秩的性质，一般采用两种方法，一种是用已知矩阵作为元素拼成高阶矩阵来证明，如性质1、2、5、6；另一种方法是将已知矩阵拆成低阶矩阵来证明，如性质3、4。这两种方法在证明矩阵秩的性质时都是很有效的，几乎所有的矩阵秩的性质，都可用分块矩阵来证明。
13
第四章 分块矩阵的初等变换及其应用
对矩阵进行分块是处理阶数较高的矩阵时常用的方法,我们把大矩阵看成由一些小矩阵组成,在运算中,把这些小矩阵当作数一样处理,从而把高阶矩阵化为低阶矩阵来运算,这样能很快解决问题。分块矩阵的初等变换在线性代数中有非常广泛的应用。下面来讨论分块矩阵的初等