文档介绍：垂直于弦的直径
第一课时 垂径定理
2020年9月28日
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圆的对称轴有无数条，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴。
·
O
A
B
C
D
E
1、圆有几条对称轴？它的对称轴是什么？
2、如020年9月28日
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，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
·
O
A
B
E
C
D
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
∴
设OC=xcm，则OD=x-2,
根据勾股定理，得
解得 x=5，
即半径OC的长为5cm.
x2=42+(x-2)2，
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3、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm。
·
O
A
B
E
解：连接OA，∵ OE⊥AB
∴
∴ AB=2AE=16cm
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4、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
·
O
A
B
E
解：过点O作OE⊥AB于E，连接OA
∴
∴
即⊙O的半径为5cm.
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问题：如图，AB是⊙O的弦∠OCA=300，OB=5cm，OC=8cm，求AB的长。
O
A
B
C
30°
8
5
4
D
┌
解：
过圆心O 作OD⊥AB于点D
则AD=BD
∴AB=2BD
∵OD⊥AB，∠OCA=300，OC=8cm
∴OD= OC=4 cm
在Rt△OBD中
∴AB=2BD=6 cm
概念：过圆心作弦的 长度，叫做弦心距。
垂线段
归纳：在垂径定理解决问题时，常用辅助线是作弦心距。
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总结： 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
E
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垂径定理的几个基本图形：
CD过圆心
CD⊥AB于E
AE=BE
AC=
BC
AD=
BD
条件：
结论：
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，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又 ∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
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：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE。
∴ AE－CE＝BE－DE
即 AC＝BD.
.
A
C
D
B
O
E
注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
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：⊙O中弦AB∥CD,
求证：AC＝BD.
⌒
⌒
.
M
C
D
A
B
O
N
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则AM＝BM，CM＝DM
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）
AM－CM＝BM－DM
∴AC＝BD
⌒
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⌒
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⌒
⌒
⌒
⌒
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，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。
·
O
A
B
E
C
D
解：连接OA，
∵ CD是直径，OE⊥AB
∴ AE= AB = 5
设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得
x2=52+(x-1)2
解得：x=13
∴ OA=13
∴ CD=2OA=26
即直径CD的长为26.
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，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E， ∠ CEB=30°，DE=8㎝，CE=4㎝，求弦AB的长。
F
解：连接AO,过圆心O作OF⊥AB于点F
∵ DE=8 ㎝，CE=4 ㎝，
∴ CD=DE+CD=8+4=12 cm
∴ OA=OC=OD=6 cm
∴ OE=OC-OE=6-4=2 cm
∵ ∠ CEB=30°,
∴ ∠ OEF=30°
∴ OF= OE=1 cm
在Rt△AOF中，
∵ OF⊥AB
∴ AB=2AF=
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演讲完毕，谢谢观看！
Thank you