对于只有两变量的线性规划问题.docx

文档介绍：对于只有两变量的线性规划问题，可以用图解法求最优解，其特点是过程清楚、图形清晰。
例 4 设有一线性规划问题表达式 ( 包括目标函数、约束条件 ) 如下
fmax=50X +40X
12
X]+ X2<450 (1)
2 X +X对于只有两变量的线性规划问题，可以用图解法求最优解，其特点是过程清楚、图形清晰。
例 4 设有一线性规划问题表达式 ( 包括目标函数、约束条件 ) 如下
fmax=50X +40X
12
X]+ X2<450 (1)
2 X +X <800 (2)
12
X ＋3 X <900 (3)
12
X1，X2>0 (4)
以X1，X2为坐标，当式(l)为等式，即X]+X2 = 450时，在X1 , X2坐标系，它是一条直线，但式⑴ 不是等式，而是X]+ X2<450，即在式(1)表示的约束条件中给定的不仅是在直线上的所有点，而是在直线 X]+ X2= 450左下部一个广大的区域(包括直线在内的阴影线部分)，见图1-1，例如X] = 0、X2=0，X] = -5、 X2=0, X1=3、 X2=-3 等等,都是满足式(1)的点。
图 1-1 某线性规划问题
同理，也可以在X1，X2坐标系中画出式(2)、(3)、(4)所决定的4条直线，连同式(1),共5条直线， 如图 1-2所示。
由图1-2所示的5条直线所围成的一个凸多边形，就是约束条件给定的区域，其中所有的点都满足约 束条件的要求。实际上，它表示一个由凸多边形内无数多个点所组成的集合，称为凸集。那么，怎样从无 穷多中求出使目标函数值最大的点呢？
图 1-2 某线性规划问题中的约束条件
解 由于目标函数f=50X]+40X2，在f为一定值时也是一条直线，其斜率为-40/50。当f为不同值时，
在X], X2坐标系中实际上是一系列的平行线，则尽管在每一条直线上X], X2取不同的值，f总是某一定值。
例如图1-3中的直线I,当X]=0、X2=0时；当X]=4、X2 = -5时f=0；因此称直线I为f的某一等直线（此 处为零）。
图1-3目标函数f的等值线
由于直线I是等直线，而且斜率相等，它们又是一系列平行线，因此只要画出其中任意的一条线，将 它们平移到某个与凸集相交