文档介绍：2矩阵典型****题解析
2 矩阵
矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学****过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济在计算时是我们常犯的错误。
4、设则
解：
易错提示：本题关键是要求我们注意到是矩阵，但却是数，
倘若先计算然后再求，则计算式相当繁琐的。
5、设，求.
解：
方法一：数学归纳法.
因为，，，
一般的，设，
则.
所以，有归纳法知。
方法二：因为A是初等矩阵，，相当于对单位矩阵，施行了n次初等列变换（把第一列加到第三列），故。
方法三：利用对角矩阵和主对角线上为零的上三角矩阵幂的特点来进行计算。
令 ，
其中，
又因为，所以。
故有 .
提示：除上述方法外，本题还可以与后面的特征值联系起来计算，方法也算不少，读者只需选择一种或几种适合自己的且快捷简便的方法为宜。
6、设矩阵，求。
解：A的特征多项式，
则有根1，-1（二重）。
若设，那么所求，
而，
由代数学中的整除性质，，
解之得：。
所以，，从而。
点评：本题可谓是到综合性极强的一道题，对于解这种类型题时，读者除需要掌握牢固扎实的基础知识外，还应具备真正能够做到各知识点前后相连，融会贯通的能力。所以，我们平时学****是应该养成多动脑，勤思考，常总结得好****惯。
7、设，求。
解：由分块矩阵知，其中，
∴
又
∴
而的秩为1，有
从而
矩阵的逆（逆矩阵）及其运用
1、设A为三阶方阵，为A的伴随矩阵，，计算
解：因为，所以。
易错提示：切记将2提出时应为，其中k为该矩阵的阶数。
2、已知矩阵A满足关系式，求。
解：因为
，
思路提示：遇到有关此类问题时，我们首先应想到的是把所求问题的因式给分解出来，那么问题就会变得容易多了。
3、设n阶可逆矩阵，为n维列向量（i=1,2,…n）,
为n维非零列向量，且与均正交，
则可逆。
解：要证明矩阵B可逆，我们这里只需要证明向量组线性无关即可。
为此，我们令：
，
两边同乘以，即
，
，（i=1,2,…n-1）且
我们可以得出，那么即得：，
又A是可逆矩阵，
线性无关。
从而我们有=0，即证明了线性无关，
同时也就说明了矩阵是可逆矩阵。
思路提示：对于这某矩阵时可逆矩阵的方法也算不少，这里我们不妨预先前所熟悉的线性方程组来建立联系。这就要求我们对与矩阵与线性方程组建的关系要特别的熟悉与掌握，这对于今后解线性方程组也会只很有帮助的。事实上，对于mn矩阵A，我们可以把其每一列看作一列向量（记为），则A=（），这就很形象的转化为线性方程组问题了，而A=（）可逆向量组线性无关。
4、设A为n阶实矩阵，若A+为正定矩阵，则A为可逆矩阵。
证明：用反证法
假设A为不可逆矩阵，
则n维列向量，使得，
而对于
，
从而我们知存在，使得，
但这与A+为正定矩阵相矛盾，从而假设不成立，
这也就说明了A为可逆矩阵。
点评：对于一些证明题，当我们感觉无处下手之时，不妨尝试一下反证法，很多时候反证法也未尝不是条光明道路。对于如何说明矩阵A是正定矩阵，我们应掌握以下几个等价定理：
(1)定义法（最基本，也较常用，本题就是利用次方法来证明出矛盾来的的）；
(2)来说明A的所有特征值全部都大于零；
(3)来说明A的所有顺序主子式都大于零（这种方法再给出具体的矩阵表达形式时较常用）;
(4)存在可逆矩阵，使得A=;
(5)存在正交矩阵，使得A=;
(6)存在正交矩阵，使得，。
5、已知二次型，
(1)写出该二次型的矩阵表达式；
(2)用正交矩阵的方法把该二次型化为标准性，并写出对应的正交矩阵。
解：
（1）f的矩阵表达式为
；
（2）由（1）得知该二次型的矩阵为