文档介绍：可逆矩阵 矩阵的乘积的行列式
一、内容分布
5．2．1 可逆矩阵的定义
5．2．2 可逆矩阵的性质
5．2．3 初等矩阵的定义、性质
5．2．4 矩阵可逆的判别
5．2．5 逆矩阵的求法
5．2．6 可逆矩阵 矩阵的乘积的行列式
一、内容分布
5．2．1 可逆矩阵的定义
5．2．2 可逆矩阵的性质
5．2．3 初等矩阵的定义、性质
5．2．4 矩阵可逆的判别
5．2．5 逆矩阵的求法
5．2．6 矩阵乘积的行列式
二、教学目的
1 掌握逆矩阵的概念及矩阵可逆的判别
2 掌握求逆矩阵的方法,尤其是能熟练利用矩阵的行初等变 换求逆矩阵。
3 了解初等矩阵与初等变换的关系
三、重点、难点
逆矩阵的求法 矩阵可逆的判别
可逆矩阵的定义
定义1 A为F上n 阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=I
称A为可逆矩阵（非奇异矩阵），B称为A的逆矩阵.
例：
A与B互为逆矩阵.
把矩阵A的逆矩阵记为 .
4）可逆矩阵与逆矩阵是两个不同的概念，由等式AB=BA=I
联系着；可逆矩阵一定有逆矩阵，逆矩阵是对于一个可逆矩
阵而言的 ;
Note：1）由于只有方阵才满足AB=BA=I ，所以可逆矩阵
一定是方阵，且它的逆矩阵也是方阵;
3）由于矩阵乘法一般不满足交换律，所以条件要求两个等
式 AB=I, BA=I ;
5）由定义判断一个方阵A是否可逆，在于说明是否存在一个
方阵B,使得AB=BA=I ,一般用待定法转化为方程组判断求解
的问题，比较麻烦（例略），并且并非每一个方阵都可逆.
2）并不是所有的方阵都可逆,比如零矩阵和有一列或一行
全是零的矩阵等 ;
可逆矩阵的性质
1) A可逆，则A的逆矩阵唯一.
证 设B,C均为A的逆矩阵 ，则 AB = BA =I,AC = CA =I
B = BI = BAC =（BA）C = IC = C
证 注意到 ,即得.
证 注意到 ,即得.
4) A可逆，则
2) A可逆，则 可逆，且
证 由 ,有 .
3) A，B可逆，则AB也可逆，且 .(可推广)
初等矩阵的定义、性质
定义2 由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵.
对n = 4
都是四阶初等矩阵.
相应地,对于n 阶单位矩阵I ,对其进行初等变换,得初等矩阵
换法矩阵
倍法矩阵
消法矩阵
命题1 对A作行初等变换相当于用同类型的初等矩阵左乘A;
1、交换A的i ，j 行相当于用 .
如
2、把A的第i 行乘以数k 相当于用 .
3、把A的第j 行乘以k后加到第i 行相当于用 .
即 .
命题第二结论同理可得.
Note：1）注意一次和相应的含义;
2）作用在于把矩阵经初等变换而得到的新矩阵可用
矩阵等式表示出来，为表述和论证有关问题带来方便.
命题2 初等矩阵都可逆，且逆矩阵仍为同类型的初等矩阵.
对矩阵A施行一个初等变换后得矩阵 .则
任一m×n矩阵A总可以通过初等变换化为(其中r(A)=r).
进一步有,初等变换不改变矩阵的可逆性.
Note：引理提供了一种思想：对要判断矩阵可逆性，可考虑
用初等变换化为最简单的形式，从最简单形式的矩阵的可逆
性判断原矩阵的可逆性。问题是，矩阵在初等变换下的最简
形式如何？为此有：
证 ，A可通过行及第一种列变换化为
对（*）作第三种列变换即可化为 .
Note：1）定理的结论可叙述为：存在一些初等矩阵使
2) 也可叙述为：存在阶m可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得
3）由此可得判断矩阵可逆的思想：
对A作初等变换化为
则A与 有相同的可逆性,而 的可逆性容易判断:
当 时可逆；当 时不可逆（因它与任一方阵
乘积的结果至少有一行全为0）.并且由此易得：
命题3 n阶矩阵A可逆的充分必要是它可以通过初等变换化