文档介绍：成考专升本高数(二)第二章笔记
成考专升本高数(二)第二章笔记
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第二章 一元函数微分学
§ 导数与微分
一、主要内容
㈠导数的观点
1．导数：
y
f (较高
lim o( x ) 0
阶的无量小量，即： x 0 x
则称 y f ( x) 在 x 处可微，记作：
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dy A( x) x
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dy A( x )dx
( x 0)
：
定理： f ( x ) 在 x 处可微 f ( x ) 在 x 处可导，
且： f ( x ) A( x )
：
dy f ( u)du
无论 u 是自变量，仍是中间变量，函数的
微分 dy 都拥有同样的形式。
一、 例题剖析
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例
则
lim
f ( x0 2 x )
f ( x0 )
f
1
( x ) 存在，且 x 0
x
，
f
( x0 ) 等于
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1
, , , D. 2 . [ ]
lim
f ( x 0 2 x ) f ( x0 )
解：
x
x 0
2 lim
f ( x 0 2 x )
f ( x0 )
2 x
2 f ( x0 ) 1
2 x 0
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1
f ( x0 )
∴ 2
（应选 D）
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例 2．设 f ( x) ( x 2 a 2 ) ( x), 此中 ( x ) 在 x a 处连
续；求 f (a) 。
f
(a)
lim
f ( x)
f (a)
解：
x a
x
a
lim
( x 2
a2 )
( x )
(a2
a2 )
(a)
x
a
x a
lim
( x
a)( x
a)
( x )
lim ( x
a)
( x )
x a
x
a
x a
2a
(a)
误会： f ( x )
2 x
( x )
( x 2
a2 )
( x )
∴
f (a) 2a (a) (a 2
a 2 ) (a) 2a (a)
结果固然同样， 但步骤是错的。 由于已知条件并没说
( x ) 可导，因此
( x )
不必定存在。
例 3．设 f ( x ) 在 x 1处可导，且 f (1) 2 ，求：
lim f (4 3 x) f (1)
x 1
x 1
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解： 设 t 4 3x, x
31 (4 t )
当 x
1
时，
t
1
lim
f (4
3x )
f (1)
lim
f (t )
f (1)
x 1
x
1