文档介绍：第二类曲面积分的计算方法
赵海林 张纬纬
摘要 利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes 公式，积
分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解.
、可负、
a < 0时，dxdy取符号.
特殊形式：
JJ P(x, y, z)dydz称为P对坐标y, z的曲面积分;
S
JJ Q(x, y, z)dzdx称为Q对坐标z, x的曲面积分;
S
JJ R(x, y, z)dxdy称为R对坐标x, y的曲面积分.
S
介绍两类曲面积分之间的联系
与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可以建立两种类型曲面积分的联系.
设S为光滑曲面，并以上侧为正侧，R为S上的连续函数，曲面积分在S的正侧
lim
ITI ka
工R(g ,n ,匚)AS
(1)
i=1
ixy
由曲面面积公式AS dxdy，其中Y是曲面S的法线方向与z轴正向
i cosY z
Si
ixy
的交角，它是定义在S上的函数•因为积分沿曲面正侧进行，所以Y是锐角•又 i
xy
由S是光滑的，所以COSY在闭区域S上连续•应用中值定理，在S内必存在一 ii
xy xy
点，使这点的法线方向与z轴正向的夹角Y* i
满足等式AS =
COS Y *
i
AS或
ixy
AS = cos y * • AS • ixy i i
n 个部分相加后得
于是 R(2 ,匚)as = rG ,匚)cos y*as
ixy
ii
Yr (g ,n, J as =》r (g ,n, Jcos y*as ⑵
i i i ixy i i i i i
i=1 xy i=1
现在以cos Yi表示曲面S在点(x,y ,z )的法线方向与z轴正向夹角的余弦，则由 i i i i
cosY的连续性，可推得当IITIT 0时，(2)式右端极限存在•因此由(1)式得到
x, y, z)dzdx =
S
JJQ(x, y, z)cos 0 dS
(3)
这里注意当改变曲面的侧向时，左边积分改变符号，右边积分中角Y改为Y 土兀• 因而cosY也改变符号，所以右边积分也相应改变了符号.
同理可证：
(4)
JJQ(x, y, z)dzdx = JJQ(x, y, z )cos 0 dS
SS
其中a,
=JJ [P(x, y, z)cos a + Q(x, y, z)cos 0 + R(x, y, z)cos Y ]dS
5)
3 介绍第二型曲面积分的多种计算方法
在数学分析课程中，有关曲面积分，尤其是第二型曲面积分的计算是一个重 点、也是一个难点问题，学生在学****过程中往往对这一问题感到束手无策、无从 下手。这一方面是由于曲面积分计算本身的复杂性，它既要考虑到曲面的形状及 其投影区域，又要注意到曲面的侧；另一方面 ,也表明学生对这一计算问题缺乏 ，参数 法，单一坐标平面投影法，分项投影法，利用高斯公式求解，利用 stokes 公式求 解，利用积分区间对称性，向量法以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行 求解.
直接利用定义法进行计算
若 R(x,y,z)在光滑有向曲面 S : z = z(x,y),(x,y)e D 上连续，则 R(x,y,z)dxdy 存 xy
S 在，且有计算公式:
其中D表示S在xoy面上的投影区域，当曲面取上侧时公式(1)的右端取“ + ”号， xy
取下侧时取“ - ”号•这一公式表明，计算曲面积分口 R(x,y,z)dxdy时，只要把其中变
S
量z换为表示刀的函数z = z(x,y)，然后D在S的投影区域上计算二重积分，并考虑
xy
到符号的选取即可，这一过程可总结成口诀：“一代二投三定向” •
类似地，如果曲面工的方程y = y(z,x)，贝V
如果曲面刀的方程为x = x(y, z),则
例 1 计算积分：
其中S是球面x2 + y2 + z2二1在第一、八卦限的部分，取球面外侧.（如图1 ）
解设S = E ,曲面在第一、八卦限部分的方程分别为:
12
E : z = 1 — x 2 — y 2
i 1 '
E : z =——<1 — x 2 — y 2
2
它们在xoy面上的投影区域仏都是单位圆在第一象限的部分.
JJ xyzdxdy = JJ xyzdxdy + JJ xyzdxdy
S 气 J
图1