文档介绍：我对函数对称性的认识四川省大竹中学余德函数是中学数学教学的主线,是中学数学的核心内容,也是整个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点,函数的对称性是函数的一个基本性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决,对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。一、函数自对称性质结论 y=f (x) 的图像关于点 A (a,b) 对称的充要条件是 f (x) +f (2a -x)=2b 结论 y=f (x) 的图像关于原点 O对称的充要条件是 f (x) +f(-x)=0 结论 y=f (x) 的图像关于直线 x=a对称的充要条件: f (a +x) =f (a-x) 即f (x) =f (2a -x) 推论:函数 y=f (x) 的图像关于 y轴对称的充要条件是 f (x) =f(-x) 结论 4.①若函数 y=f (x) 图像同时关于点 A (a ,c)和点 B (b ,c) 成中心对称(a≠b),则y=f (x) 是周期函数,且 2|a-b|是其一个周期。②若函数 y=f (x) 图像同时关于直线 x=a和直线 x=b 成轴对称(a≠b),则 y=f (x) 是周期函数,且 2|a-b|是其一个周期。③若函数 y=f (x) 图像既关于点 A (a ,c) 成中心对称又关于直线 x =b成轴对称(a≠b),则y= f (x) 是周期函数,且 4|a-b|是其一个周期。下面给出结论 1的证明,其他结论类似可以证明。结论 1证明:(必要性)设点 P (x ,y) 是y=f (x) 图像上任一点, ∵点P(x ,y) 关于点 A (a,b) 的对称点 P ‘(2a-x,2b-y)也在 y=f (x) 图像上,∴2b-y=f (2a -x)即y+f (2a - x)=2b 故f (x) +f (2a -x)=2b,必要性得证。(充分性)设点 P (x 0,y 0)是y=f (x) 图像上任一点,则 y 0=f (x 0) ∵f (x) +f (2a -x)=2b∴f (x 0)+f (2a -x 0)=2b,即 2b-y 0=f (2a -x 0)。故点 P ‘(2a-x 0,2b-y 0)也在 y=f (x) 图像上,而点 P与点 P ‘关于点 A (a,b) 对称,充分性得征。二、不同函数的互对称结论 y=f (x) 与y=2b-f (2a -x)的图像关于点 A (a,b) 成中心对称。结论 6.①函数 y=f (x) 与y=f (2a -x)的图像关于直线 x=a成轴对称。②函数 y=f (x) 与a-x=f (a- y)的图像关于直线 x +y=a成轴对称。③函数 y=f (x) 与x-a=f (y+ a)的图像关于直线 x-y=a成轴对称。结论 7函数 y=f (x) 的图像与 x=f (y) 的图像关于直线 x=y成轴对称。下面给出结论 6中③的证明: 设点 P (x 0,y 0)是y=f (x) 图像上任一点,则y 0=f (x 0)。记点 P(x ,y) 关于直线 x-y=a的轴对称点为 P ‘(x 1,y 1) ,则 x 1=a+y 0,y 1=x 0-a,∴x 0=a+y 1,y 0=