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空间点、直线、平面之间的位置关系
[知识梳理 ]
1．空间两条直线的位置关系
(1，β相交，则 a，b 的位置关系可能为平行、相交或异面．因此 “直线 a 和直线 b 相交 ”是“平面 α和平面 β相交 ”的充分不必要条件．故选 A.
(2)(2017 广·东五校联考 )已知 m，n 是两条不同的直线， α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：
①若 α⊥β，m? α，n? β，则 m⊥n；
②若 m⊥α，n⊥β，m⊥n，则 α⊥β；
③若 m∥α，n∥β，m∥n，则 α∥β；
④若 m⊥α，n∥β，α∥β，则 m⊥n.
其中所有正确命题的序号是 ________．
答案 ②④
解析 对于①，当两个平面互相垂直时， 分别位于这两个平面内的两条直线未必垂直，因此①不正确；对于②， 依据结论 “由空间一点向一个二面角的两个半平
面(或半平面所在平面 )引垂线，这两条垂线的夹角与这个二面角的平面角相等或互补”可知②正确； 对于③，分别与两条平行直线平行的两个平面未必平行，因此③
不正确；对于④，由 n∥β得在平面 β内必存在直线 n1 平行于直线 n；由 m⊥α，α
∥β得 m⊥β，m⊥n1；又 n1∥n，因此有 m⊥n，④正确．综上所述，所有正确命题的序号是②④ .
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题型 1
平面的基本性质
典例
如图所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是梯形，BC 綊1
，
綊
1
，
2AD
BE
2FA
G，H 分别为 FA，FD 的中点．
(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形；
(2)C，D，F，E 四点是否共面？为什么？
先证明三点共面，再证另一点也在这个面上．
解 (1)证明：由已知 FG＝GA，FH＝HD，
1
得 GH 綊2AD.
1
又 BC 綊2AD，所以 GH 綊 BC，所以四边形 BCHG 是平行四边形．
1
(2)由 BE 綊2AF，G 为 FA 中点，知 BE 綊 GF，
所以四边形 BEFG 为平行四边形，所以 EF∥BG.
由(1)知 BG∥CH，所以 EF∥CH.
所以 EF 与 CH 共面，
又 D∈FH，所以 C， D，F，E 四点共面．
[结论探究 ] 若典例中条件不变，证明： FE，AB，DC 交于一点．
证明 由例题可知，四边形 EBGF 和四边形 BCHG 都是平行四边形，故可得
四边形 ECHF 为平行四边形，
1
∴EC∥HF，且 EC＝2DF，∴四边形 ECDF 为梯形．
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∴FE， DC 交于一点，设 FE∩DC＝M.
∵M∈FE，FE? 平面 BAFE，
∴M∈平面 M∈平面 BADC.
又平面 BAFE∩平面 BADC＝BA，
∴M∈BA，∴ FE，AB， DC 交于一点．
方法技巧
1．证明点共面或线共面的常用方法
(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．
(2)纳入平面法： 先确定一个平面， 再证明有关点、 线在此平面内． 如典例 (2)．
(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面 α，再证明其余元素确定平面 β，最后证明平面 α，β重合．
2．证明空间点共线问题的方法
(1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理
3 证
明这些点都在这两个平面的交线上．
(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线， 然后证明其余点也在该直线上．
3．证明线共点问题的常用方法
先证其中两条直线交于一点， 再证其他直线经过该点． 如本典例中的结论探究．
冲关针对训练
如图，空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，G，H 分别在 BC， CD 上，且 BG∶GC＝DH ∶HC＝1∶2.
(1)求证： E，F