文档介绍：专题九：二次函数压轴题
【问题解析】
中考压轴题是中考必不可少的试题，这类题一般是融代数、几何为一体的综合题，或 、探究性思维能力和创新思维能 力的考查，涉及的知识比较多，信息量大，题目
(2)求证：四边形 AMCDI菱形；
(3)请问在抛物线上是否存在一点巳使彳#^ABP的面积等于定值5?若存在，请求出
所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)根据题意首先求出抛物线顶点E的坐标，再利用顶点式求出函数解析式;
(2)利用等边三角形的性质结合圆的有关性质得出/ AMD =CMD= L/AMC=60 ,进而
2
得出DC=CM=MA=ADP可得出答案；
(3)首先表示出△ ABP的面积进而求出n的值，再代入函数关系式求出P点坐标.
【解答】(1)解：由题意可知，△ MBC为等边三角形，点 A, B, C, E均在。M上，
则 MA=MB=MC=ME=2
又 「 COL MB
.•.MO=BO=1
• .A (- 3, 0), B (1, 0), E (- 1, - 2),
抛物线顶点E的坐标为(-1 , -2),
设函数解析式为y=a (x+1) 2- 2 (aw。)
把点 B (1, 0)代入 y=a (x+1) 2- 2,
解得：a=—,
故二次函数解析式为：y=1~ (x+1) 2 - 2;
(2)证明：连接DM
・•△MBE等边三角形，
/ CMB=60 ,
./AMC=120 ,
・•点D平分弧AG
/ AMD = CMD=yZAMC=6i0 ,
^-1
，MD=MC=MA
△ MCD △ MDA是等边三角形，
DC=CM=MADA
••・四边形AMC为菱形(四条边都相等的四边形是菱形)；
(3)解：存在.
理由如下：
设点P的坐标为(成n)
|n| , AB=4
△AB
x 4X |n|=5 ,
即 21n|=5 ,
5
解得：n=±
5 1
当1J时，—(m+1)
2
-2一-
解此方程得：m=2, m2=- 4
即点P的坐标为(2,二)，(-4,5), 22
耳1R
当 n二一不时，—(m+1) 2- 2=--, jlZZ
此方程无解，
E5
故所求点P坐标为(2, —), (-4,—).
£ । ■
【同步练】
(2016 •四川眉山)已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A B、C分别为坐标轴上
上的三个点，且 OA=1, OB=3 OC=4
(1)求经过 A B C三点的抛物线的解析式；
(2)在平面直角坐标系 xOy中是否存在一点 P,使得以以点 A B C、P为顶点的四边 形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点M为该抛物线上一动点，在(2)的条件下，请求出当|PM-AM|的最大值时点
M的坐标，并直接写出|PM-AM|的最大值.
类型三：抛物线与图形变换的综合问题
【例题31(2016 •陕西)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5 经过点M (1, 3)和N (3, 5)
(1)试判断该抛物线与 x轴交点的情况；
(2)平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A (-2, 0),且与y轴交于点B,同
时满足以A、Q B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)把M N两点的坐标代入抛物线解析式可求得a、b的值，可求得抛物线解
析式，再根据一元二次方程根的判别式，可判断抛物线与x轴的交点情况；
(2)利用A点坐标和等腰三角形的性质可求得B点坐标，设出平移后的抛物线的解析
式，把A、B的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式，比较平移前后抛物线的顶点的变 化即可得到平移的过程.
【解答】解：
(1)由抛物线过M N两点,
把M N坐标代入抛物线解析式可得
岂4b45二3 在刀/曰
,解得
9a+3b+5-5
b二一 3
，抛物线解析式为 y=x2- 3x+5,
令 y=0 可得 x2 - 3x+5=0,
该方程的判别式为△ = (- 3) 2-4X1 X 5=9- 20=- 1K0,
•♦・抛物线与x轴没有交点;
（2） •••△AOB是等腰直角三角形， A （ - 2, 0）,点B在y轴上,
••.B 点坐标为（0, 2）或（0, - 2）,
可设平移后的抛物线解析式为 y=x2+mx+n,
7二 2
①当抛物线过点 A（ - 2, 0）, B （0, 2）时，代入可得- 八
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