文档介绍：论资产价格分布与衍生品定价
程碧波
摘要：文章认为不仅资产价格的随机游走不能精确预知，而且资产价格随机游走的趋势也同 样不能精确预知。这样，资产价格随机游走的趋势就同样具有风险，表征游走趋势的量也应 是随机变量。本文构造了资产价格随机游2时dB （t） = £jdt，为标准布朗运动，资产价格变化与时间无关，服从 H
随机漫步。当1/2 < H < 1时，序列是趋势增强的，遵循有偏随机游走过程；当
0 < H < 1/2，序列是反持续性的。
如果我们剥开⑴式的表象，可以直接写为以下形式：
二 pdt + 8 (t )e
dS 7
二 udt +
S
（2）式中 8 （t）= Jd Ch h
由⑵可见，几何分数布朗运动的各种趋势，例如是趋势增强，还是趋势减 弱，还是随机漫步，取决于⑵式中8（t）的表达式。因此要证明股票价格是否服 从某几何（分数）布朗运动，不能看模拟的结果是否与实际结果相似，而应根据实 际结果计算出几何（分数）布朗运动中的实际标准差8 （t），看其是否与式子中的 8（t）吻合。如果吻合，则有比较强的证据说明符合预定的几何分数布朗运动，否
则证明其不符合预定的几何分数布朗运动。
然而问题还不仅在于此。几何分数布朗运动研究的兴起，事实上承认了股票 价格中8（t）会随着运动趋势的不同而不同，而这种不同是外生假设的。这样疑问 就来了：既然8（t）可能外生变化，那么这种外生变化背后就存在外生驱动力。外 生驱动力作为未来因素，却被假设为可以被精确预知的非随机变量，这非常不合 适。的确，人们不可能精确预知未来任何时刻股票价格运动趋势的变化。合理的 假设，应当假设8（t）变化的外生驱动力也为随机数，即8（t）本身也是随机数。
则并不困难。可以取较短的时间间隔At，有以下关系: （AS 丫
< 了丿
在实证上，使用蒙特卡罗模拟来模拟股票价格运动并不严谨。但是计算8（t）
二卩2(At匕 +G2 (AB (t)》+ 2^oAtAB (t) = o(At)+G2 (AB (t)》 ⑷
H H H
H(t)》=EQBr (t)》-(E(AB (t)》)
=E E 4 Ca (t 2 H )) Xa (t 2 H ))
=Ca (/ 2 H )) ( C 4 )- 1)= o (At)
故:
因此当At T 0时，(AB (t)》是t的确定函数,
H
(AB (t )》T E (
H
(/2H ))= 2Ht2H一idt
从而，
T 2c 2 Ht 2 H-1dt
⑹
(7)
(AS A 2 由⑺式可得，当时间段At取足够小时，一为非随机数。
I S丿
(AS
然而基于现实数据的复杂性，显然实际股票价格变化的AS 不可能是非随 I S丿
机数，不可能得到精确预测。这就是说，无论从理论的股票价格变化，还是实际 股票价格变化来说，空二卩dt + 8 (t)8中的5 (t)都应是随机数。
S
现在我们构造新的股票价格运动方程：
=pdt + G+①)dB (t) (8)
S H
(AS 丫
(8)式中c为非随机数，®是期望值为0的随机数，D(®) = 52。这样，
T 2 (c 2 + 2c® + ① 2 )Ht 2 h -idt
在新的股票价格运动方程中，我们试图来构造