文档介绍：主成分分析 一、概述：在医学科学研究中经常遇到多个指标的问题，指标多了带来了统计分析的复杂性。如评价儿童生长发育，某研究者收集了一批儿童的身高、体重、胸围、肺活量等12个指标的资料，如何利用这12个指标对儿童生长发育作出评价？如果仅用其中任
图1 图2 主成分分析示意图
三、主成分的求法及性质 一）求法：假设收集到的原始数据共有n例，每例测得m个指标，记录形式如下：
样品 X1 X2 ……. . Xm
X11 X12 ……. . X1m
X21 X22 ……. . X2m
.
n Xn1 Xn2 ……. . Xnm
（标准化后， 的相关矩阵即为协方差矩阵Cov( ):
二）主成分的性质 1、各主成分互不相关 2、主成分的贡献率和累计贡献率 可以证明各指标X1、 X2… Xm的方差和与各主成分Z1、 Z2… Zm的方差和相等： 将数据标准化后，原始指标的方差和为m，各主成分的方差和为 、 X2… Xm的总方差分解为m个互不相关的综合指标主成分Z1、 Z2…Zm的方差和,使第一主成分的方差达最大
表明第一主成分Z1的方差在全部方差中所占的比值，称为第一主成分的贡献率，这个值越大，表明Z1这个指标综合原始指标X1、 X2… Xm的能力越强。也可以说，由Z1的差异来解释X1、 X2… Xm的差异的能力越强。正因为这一点，才把Z1称为X1、 X2… Xm的第一主成分，也就是X1、 X2… Xm的主要部分。一般的称： 为第i主成分的贡献率。 而称： 为前 k个主成分的累积贡献率。
3、主成分个数的选取 1）以累计贡献率来确定：当前 k个累计贡献率达到某一特定的值时（一般以大于70%为宜），则保留前k个主成分。 2）以特征值大小来确定：即若主成分Zi的特征值大于等于1，则保留Zi，否则就去掉该主成分。 4、因子载荷 为了解各主成分与各指标之间关系，求第 i主成分Zi的特征值的平方根与第 j个原始指标Xj的系数 aij的乘积为因子载荷即： 事实上因子载荷就是第 i主成分Zi与第 j原始指标Xj间的相关系数，它反映了主成分Zi与第原始指标Xj间联系的密切程度与作用的方向。
5、样品主成分得分 对于具有原始指标测定值的任一样品，可先求出其标准化值 ，将标准化值代入各主成分的表达式： 求出该样品的各主成分值。这样求得的主成分值称为该样品的主成分得分。利用样品的主成分得分，可以对样品的特性进行推断和评价。
四、实例 某医院测得20名肝病患者的4项肝功能指标，分别为SGPT（转氨酶）、肝大指数、ZnT、AFP数据见表：
病例号
转氨酶
肝大指数
硫酸锌浊度
甲胎球蛋白
1
40
5
20
2
10
5
30
3
120
13
50
4
250
18
0
5
120
9
50
6
10
12
50
7
40
19
40
8
270
13
60
9
280
11
60
10
170
9
60
11
180
14
40
12
130
30
50
13
220
17
20
14
160
35
60
15
220
14
30
16
140
20
20
17
220
14
10
18
40
10
0
19
20
12
60
20
120
20
0
五、主成分分析的应用 1、对原指标进行综合 从方法学上讲，主成分分析的主要作用是在基本保留原始指标信息的前提下，以互不相关的较少个数的综合指标来反映原始指标所提供的信息，这就为进一步的统计分析奠定了基础。 如：若需将多个存在多元共线性的自变量引入回归方程，由于共线性的存在，直接建立的多元线性回归方程具有不稳定性；若采用逐步回归方程，则不得不删除一些自变量，这亦与研究初衷相悖。如将主成分分析与多元线性回归结合使用，