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1. 直线与直线所成角
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若两直线 所成的角为 , 则
复****引入
注意法向量的方向：同进同出，二面角
文档名
1. 直线与直线所成角
l
m
l
m
若两直线 所成的角为 , 则
复****引入
注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角
L
将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量 ，
则二面角 的大小 ＝〈 〉
2、二面角
若二面角 的大小为 , 则
②法向量法
3. 线面角
l
设直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且直线 与平面 所成的角为 ( ),则
（1）点到平面距离的向量公式
（2）线面、面面距离的向量公式
d=
（3）异面直线的距离的向量公式
求空间中点到直线的距离
正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，
E是BB1的中点，则E到AD1的距离是( )
A a B a
C a D a
解析：连结D1E、AE，过E作EH⊥AD1于H，
在△AD1E中易求EH= a.
D
求点到平面的距离
已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，AB=1，AA1=2，
点E为CC1中点，点F为BD1中点.
（1）证明EF为BD1与CC1的
公垂线； （2）求点
D1到面BDE的距离.
思路分析：第一问即是证明两组线线垂直，
第二问可考虑等体积法。
[解答]（I）证明：取BD中点M，连结MC，FM，
∵F为BD1中点， ∴FM∥D1D且FM= D1D
又EC= CC1，且EC⊥MC，
∴四边形EFMC是矩形
∴EF⊥CC1
又CM⊥面DBD1
∴EF⊥面DBD1
∵BD1 面DBD1，∴EF⊥BD1 故EF为BD1与CC1的公垂线.
n⊥ 又 =（－a，a，0）， =（0，a，－a），即有
得其中的一组解
n=（ , , ），=（ a/2 ，0，a/2）.
设所求距离为d，则d=| ·n|= a
（3）设e=（x1，y1，z1）是两异面直线的公垂线上的单位
方向向量，则由 =(-a/2,0,a/2). =(a/2,a/2,-a) ，得
求得其中的一个e=（ ，－ , ），而
=（0，a，0）.设所求距离为m，则
m=| ·e|=|－ a|= a.
四棱锥P－ABCD的三视图如左(包括投影到的部分不变的点的字母)求：
(1)画出该几何体并标出相应的字母；
(2)计算该几何体的体积；
(3)求直线PC与平面PBD所成的角的余弦值cos θ；
(4)若M为PC的中点，在△PAD内找一点N，使MN⊥面PBD.
变式探究
3.(2009年银川一中月考) 如右图所示，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA＝AB＝1，PD与平面ABCD所成角是30°，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
(2)证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF；
(3)当BE等于何值时，二面角P－DE－A的大小为45°.
解析：(1)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．
∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，
∴EF∥⊄平面PAC，而PC⊂平面PAC，
∴EF∥平面PAC.
(2)
证明：建立图示空间