文档介绍：立体几何一、平面的基本性质公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理 2如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理 3经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面. 根据上面的公理,可得以下推论. 推论 1经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论 2经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3经过两条平行直线,有且只有一个平面. 二、空间线面的位置关系共面平行—没有公共点(1) 直线与直线相交—有且只有一个公共点异面(既不平行,又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点(2) 直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点(直线在平面外)相交—有且只有一公共点(3) 平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点三、异面直线的判定证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线,与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 四、线面平行与垂直的判定(1) 两直线平行的判定①定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行,即若 a∥α,aβ,α∩β=b, 则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行,即若 a∥b,b ∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行,即若 a⊥α,b⊥α,则 a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交,那么两条交线平行,即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b, 则a∥ b⑥如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行,即若α∩β=b,a ∥α,a∥β,则 a∥b. (2) 两直线垂直的判定 :若两直线成 90°角,则这两直线互相垂直. , b∥c,a ⊥b,则a⊥c 3. 一条直线垂直于一个平面,则垂直于这个平面内的任意一条直线. 即若 a ⊥α,b?α,a⊥ . 如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与这个平面的垂线垂直. 即若 a ∥α,b ⊥α, 则a⊥b. ,即若α⊥β,β⊥γ,γ⊥α,且α∩β=a, β∩γ=b, γ∩α=c,则 a⊥b,b ⊥c,c ⊥a. (3) 直线与平面平行的判定①定义:若一条直线和平面没有公共点,则这直线与这个平面平行. ②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行, a?α,b?α,a∥b,则a∥α.③两个平面平行,其中一个平面内的直线平行于另一个平面,即若α∥β,l?α,则l∥β. ④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面,⊥β,l⊥β,l?α,则 l∥α. ⑤在一个平面同侧的两个点,如果它们与这个平面的距离相等,那么过这两个点的直线与这个平面平行,即若 A?α,B?α,A、B在α同侧,且 A、B到α等距,则 AB∥α. ⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行,也与另一个平面平行,即若α∥β,a?α,a?β,a∥α,则α∥β. ⑦如果一条直线与一个平面垂直,则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行,即若 a⊥α,b?α,b⊥a,则 b∥α.⑧如果两条平行直线中的一条平