文档介绍：2016届马塘中学高三数学自主练****四
：(本大题共14小题，每小题5分，共70分；请把答案写在答题卡相应位置.)
已知集合/={1, 2, 3, 4},那么/的非空真子集的个数是14 .
若'％2>1”是“x<a”的必要不充——sin — = cos(——+ —) = cos2x .
2 2 2 2 2
a+ b ='(cos学+ cos；)2+(sin号一sin；/ = j2 + 2cos2x = 2cosx .
(2) /(x) = cos2x-22-2cosx = 2cos2 x-42cosx-l = 2(cosx-2)2 -222 -1.
ji
•・・ X G [0,y] , /. 0 < COSX < 1 .
当4 < 0时，/*(、)在cosx = 0时取得最小值-1,不合题意.
当1时，/(、)最小值为— 2^2—1,
3 1
令—2万—1 =——,解得2 = ±~ (负值舍去).
2
当；I〉1时，/(%)在cosx = 1时取得最小值为1-42,
5
令1 — 4人=一己，解得2 = -,与条件人>1不合，舍去.
2 8
因此，4的值为L.
2
(本题满分14分)
2 已知函数/(x) = ^j-l.
⑴试判断函数/(%)的单调性和奇偶性，并证明；
⑵若函数/(x)在[log2 «,3]±的最大值为a ,求实数a的值；
2 1
⑶若对任意的实数隹不等式/(3r+2) + 0恒成立，求实数左的
取值范围.
解：⑴函数/(x)的定义域为R.
2 2 2 2
设 X] < X,, 贝']f (x,)_ f(X。) = ( 1) — ( 1)=
1 + 2a+1 -2'v+1 -2
=——FTi——=°'即 /(—x)= -
故函数/(x)是奇函数.
⑵由⑴知函数/(X)在A上单调递减，
2 2
•■- f (log。a) = a ,即—： 1 = a n = a + 1.
1 - 2A|+1 2弓+1 2A| +1 2J1
(2 *+1)(2'上 +1)
%! <x2, ■■■ xl+l<x2+l,由指数函数的性质得 2A1+1 < 25 ;又 2" +1〉0 , 2'，+1>0,
(2占 +1)(2" +1)
>0,即/(%!)>/(%2).故函数/(x)在A上单调递减;
2 ? 2 2 ? 2X
/(x) + /(-x) = ( ~~- T) + ( ~~- T) = —~~- + 2 = ——- + -~— - 2
2 +1 2 +1 2 +1 I,〕 2+1 1 + 2
2T
解得 a = -1 ± <7 > 0 , tz = —1 + ^2 .
⑶ f(3t2 +2) + f(2kt — 1) > 0 = /(3r2 +2)> —y(2 如一1).
由(1)知函数y(x)是奇函数，且在a上单调递减，
/(3?2 +2)> /(I- 2如)0 3尸 + 2 < 1 — 2如，即 3户 + 2如 +1 < 0.
2 1
令h（t） = 3t2+2kt + l,则由题意得仰）在（-j,--）上恒小于0 ,也是有
+ 2A;x(-|) + l<0+ 2^x(-|) + l<0
故*的取值范围是［2,+