文档介绍：第三章扩散的年龄结构模型
另一个在种群动态中非常重要的现象是空间扩散。. Gurtin在1973年考 虑了年龄结构人口数量的扩散。. . MacCamy进一 步研究。Gu0,xe、Q (2)
，描述了这样一个完全不适合人类居住的边界;
(均匀狄利克雷条件)
a e（0,a ^）,t>0,x eQQ （3）
平(a, t, x )= 0
(齐次纽曼条件)。当没有通过ao交换人口(迁移)；
* (a, t, x)+ ap(a,t,x) = 0，a e (0,a，,t>0,x e6O (4)(a>0)
当边界上发生人口数量的迁移，并且这种迁移的人口数量和边界o上的人口 数量p成正比。我们就可以考虑一个非齐次状态对应(2)、(3)、(4)。
所描述的诞生过程是“更新法”，
p(0,t,x)=j"p (a,t,x,P(t,x))p(a,t,x')da， t>0,x eO
0
这里。是在t时刻的生育率。那么P和在t时亥L位置x父母年龄为a时的 新生人口成比例。这个速率取决于年龄a,时间t,地点x和P(t,x)(在时间t和 位置x时的总人口。)
还有一些生物种群与非线性扩散模型描述。这一切发生时，扩散系数取决于 人口密度。在这种情况下人口动力学描述，
Dp (a, t, x)+ p(a,t, x)p (a, t, x)一 Ay (p (a, t, x))= f (a, t, x) a e (0,a ^),t>0,x e6O .
当y :R-R是一个函数与某些属性。
在本章中介绍的模型似乎是最现实的连续的年龄相关性与扩散种群动态。我 们不得不提到每个数学模型都有其适用性区域以及其局限性。
本节关注最重要的属性线性年龄相关性与扩散种群动态的解的问题。将会证 明解的存在性和唯一性。也将建立一些线性模型的比较结果。
考虑描述了人口年龄结构的演化与扩散的线性模型
Dp (a, t, x)+p(a, t, x)p (a, t, x)一 kAp (a, t, x)= f (a, t, x), in QT
on Qt
（） in （0,T ）x。
in （0, a .）x。
4 (a, t, x )= 0
a
V
p (0, t, x)=j afP (a, t, x)p (a, t, x)da,
p(a,0, x)= p0(a,x)
假设P,日,f, p 0满足以下假设
（A1） P e L（QT）,8 （a,t,工）> 0 . in QT
(a2)
(Q
辱匕《0,a〉[0,T]xQ),认a,t,x)汕(,t)>0 . in QT * g Lo。0,a f)x【0,T])
』仰口 0 (a ,t — a f + a )da
i 0
. t g(0, T )
p0 g L ((0,a f)xO), p0(a,x)> 0 . in(0,a JxO,
、f g L (Qt), f (a, t,x)> 0,
. in QT,
为了解决(3 ),我们定义一个函数p g L Q ,属于 c(一s 2S))n Ac (sd* I ； L i由h(2 ；(L)h对于几乎所有的特
l o c
征线方程S
a — t = a0 —10, (a,t)g(0,a f)x(0,T), (a0,Qg "箱杼。,a f)x{。}
并满足
Dp(a,t,x)+ 日(a,t,x)p(a,t,x)—kAp (a,t,x)= f (a,t,x), in QT
on Qt
< v ()
lim p (£, t + 8, •)=』af P (a, t, •)p (a, t,・)da, in L(Q), . t g (0,T)
£T0+ / 、0/、 /、 /、
lim p(a + 8,8,・)=p (a,・)， in L(Q),. a g(0,a ?)
对于特征线S，我们可以写成
S = {(a,t)g(0,a f)x(0,T) ;a — t = a0 — 10}= {(a0 + s,t0 + s);s g (0,a )}
这里
我们已经用
(a 0+a, 10+a )e{a Jx(0,T)[J(0,a 个)x{t}
C (S; L (q))"^ : S T L(Q)}，h 连续
AC(S;L (q))=・:S T L (q);h(a0 + ・,10 + ・):(0,a)g L (q)}
h(a0 +・,10 +.): (0,a)g L(Q)是绝对连续在紧凑的子区间。 由于，()的解满足