文档介绍：第六章
谱分析
Spectral
Analysis
到目前为止，/时刻变量y的数值一般都表示成为一系列随机扰动的函 数形式，一般的模型形式为：’
我们研究的重点在于，这个结构对不同时点待K上的变量y和y的协方 差具分。注意到谱函数也是对称的，因此也可以表示为: 这个积分表示频率小于①的随机成分对y方差的贡献。
但是，频率小于气的随机成分对《方差的贡献意味着什么？为了探索这
这里a和8 .是零均值的随机变量，这意味着对所有时间t，有ey= 0。进 一步假设序列｛aj ｝m 1和｛8/以是序列不相关和相互不相关的： ’
b 2， j = k， E (8 8)=
0, j 主 k j k
E (a . 8 k) = 0， 对所有的j和k
这时Y的方差是：
因此，’对这个过程来说，具有频率⑶的周期成分对y的方差的贡献部分 是b 2。如果频率是有顺序的：0 <3<3"<3 5，则Yt的方差中由频率小 于或者等于3的周期形成的部分是：二+b 2 +M +b 2。 t
这种情形下Y的"介自协方差为：1 2 j
因为过程｛Y「的均值和自协方差函数都不是时间的函数，因此这个过程是 协方差平稳过程。但是，可以验证此时的自协方差序列仇"。不是绝对可加 的。 k k=0
虽然在上述过程中，我们已经过程的方差分解为频率低于某种程度的周 期成分的贡献，我们能够这样做的原因在于这个过程是比较特殊的。对于一 般的情形，着名的谱表示定理(the spectral representation theorem)说 明：任何协方差平稳过程都可以表示成为不同频率周期成分的和形式。
对任意给定的固定频率oe [0兀]，我们定义随机变量a (3)和8 (3)，并假设 可以将一个具有绝对可加自协方差的协方差平稳过程表示为：
这里需要对随机变量a(3)和8(3)的相关性给出更为具体的假设，但是上述 公式便是谱表示定理的一般形式。
§ 样本周期图 Sample Periodogram
对一个具有绝对可加自协方差的协方差平稳过程｛Y ｝，我们已经定义在频 率3处的谱函数值为： ’
七(3) = 土，Y ("3 ) = 土辅 j -i3 j，1 j 三 E[(Yt")(Yt-广"
j =—3
注意到母体谱是利用｛1 ｝+3表示的，而｛1 ｝+3表示的是母体的二阶矩性质。
给定由y,y ,A ,y表示的^个样本，我们可以利用下述公式计算直到(T -1) ，1，，2， ，•^ t
(T—jt£(l 亍)(七-j - y)，j=°』，a，T -1 t=j+i
阶的样本自协方差：
_ i您
'y = T 力 yt
《., j = -1,- 2,A,-T +1 t=1
、—j
对于给定的①，我们可以获得母体谱密度对应的样本情形，我们称其为
样本周期图：
样本周期图也可以表示成为如下形式：
类似地，我们可以证明样本周期图下的面积等于样本方差：
样本周期图也是关于原点对称的，因此也有：
更为重要的是，谱表示定理在样本情形也有类似的表示。我们将要说明， 对于平稳过程的任意一个容量为 T的观测值序列 叩七△,匕，存在频率 ①,①,A ,①和系数°，& ,& ,A ,&，S ,8 ,A ,8使得t期的y值可以表示成为：
1 2 M