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，若可逆，.
若不可逆，则不可逆，即也不可逆.
下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理
相似矩阵的特征值相同.
相似矩阵有相同的迹
、合同和相似之间的联系与区别
矩阵的相似与等价之间的关系与区别
，但等价矩阵未必为相似矩阵．
证明： 设阶方阵相似，由定义3知存在阶可逆矩阵，使得，此时若记, ,则有,因此由定义1得到阶方阵等价
但对于矩阵,等价，与并不相似，即等价矩阵未必相似．
但是当等价的矩阵满足一定条件时，可以是相似的，如下面定理
定理 ：对于阶方阵，若存在阶可逆矩阵 使,(与等价)，且 (为阶单位矩阵)，则与相似．
证明：设对于阶方阵与,若存在阶可逆矩阵,使,即与等价．又知,若记,那么,也即,则矩阵也相似．
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矩阵的合同与等价之间的关系与区别
：合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．
证明： 设阶方阵合同，由定义2得，存在阶可逆矩阵，使得，若记,,则有因此由定义1得到阶方阵等价
但对于矩阵,等价，与并不合同，即等价矩阵未必合同．
什么时候等价矩阵是合同的？
只有当等价矩阵的正惯性指数相同时等价矩阵是合同矩阵
矩阵的合同与相似之间的关系与区别
合同矩阵未必是相似矩阵
例 单位矩阵 E 与 2E.
两个矩阵的正负惯性指数相同故合同
但作为实对称矩阵的特征值不同, 故不相似
相似矩阵未必合同
例如A与B相似，则存在可逆矩阵P使B=P\BP,如果P的逆矩阵与P的转置矩阵不相等，则相似矩阵不是合同矩阵
： 正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵．
证明：若存在一个正交矩阵,即使得即，同时有，所以与合同.
同理可知，若存在一个正交矩阵，使得即与合同，则有
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：如果与都是阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则与既相似又合同．
证明：设与的特征根均为，由于与阶实对称矩阵，一定存在一个阶正交矩阵 Q使得同时，一定能找到一个正交矩阵使得，从而有
将上式两边左乘和右乘,得
由于，，
有，所以，是正交矩阵，由定理知与相似．
：若阶矩阵与中只要有一个正交矩阵，则与相似且合同．
证明：不妨设是正交矩阵，则可逆，取U=A，有，则与相似，又知是正交阵，由合同矩阵的定义知与既相似又合同．
：若与相似且又合同，与相似也合同，则有与既相似又合同．
证明:因为与,与相似，则存在可逆矩阵,，使，令，则且，故与相似．
又因为与合同，与合同，故存在可逆矩阵，，
令
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而
故与合同．
矩阵的等价、合同和相似在实际问题中的应用
．
解 设A的秩等于r，存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使，于是线性方程组可化为
，
记，则原方程组等价于
，
即．令，容易验证都是的解，从而它们构成的一基础解系． □
下面是具体的操作过程．
首先构造矩阵
，
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然后对矩阵B作如下的初等变换：
对A（即B的前m行）作初等的行变换，
对B作初等的列变换，
则经过有限次上述的初等变换后，B可变为
，
此时Q的后个列向量构成的一基础解系．
试从等价标准形的角度给出非齐次线性方程组的一种解法．
解 下面仅给出具体的操作过程，至于其原理可按例19的方式得到．
首先构造矩阵
，
然后对矩阵B作如下形式的初等变换：
对B的前m行作行的初