文档介绍：-
1
. z.
微积分下册知识点
第一章 空间解析几何与向量代数
向量及其线性运算
向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；
线性运算：加减法、数乘函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：
偏导数存在
函数可微
函数连续
偏导数连续
充分条件
必要条件
定义
1
2
2
3
4
闭区域上连续函数的性质〔有界性定理，最大最小值定理，介值定理〕
微分法
定义：
复合函数求导：链式法则
假设，则
，
隐函数求导：两边求偏导，然后解方程〔组〕
应用
-
1
. z.
极值
无条件极值：求函数的极值
解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点，令
，，，
假设，，函数有极小值，
假设，，函数有极大值；
假设，函数没有极值；
假设，不定。
条件极值：求函数在条件下的极值
令：——— Lagrange函数
解方程组
几何应用
曲线的切线与法平面
曲线，则上一点〔对应参数为〕处的
切线方程为：
法平面方程为：
-
1
. z.
曲面的切平面与法线
曲面，则上一点处的切平面方程为：
法线方程为：
第三章 重积分
二重积分〔一般换元法不考〕
定义：
性质：〔6条〕
几何意义：曲顶柱体的体积。
计算：
直角坐标
，
，
极坐标
三重积分
定义：
性质：
计算：
直角坐标
-
1
. z.
-------------“先一后二〞
-------------“先二后一〞
柱面坐标
，
球面坐标
应用
曲面的面积：
第五章 曲线积分与曲面积分
对弧长的曲线积分
定义：
性质：
1〕
2〕
3〕在上，假设，则
4〕 ( l 为曲线弧 L的长度)
计算：
-
1
. z.
设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则
对坐标的曲线积分
定义：设 L 为面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数，在 L 上有界，定义，
.
向量形式：
性质：
用表示的反向弧 , 则
计算：
设在有向光滑弧上有定义且连续,的参数方程为
，其中在上具有一阶连续导数，且，则
两类曲线积分之间的关系：
设平面有向曲线弧为，上点处的切向量的方向角为：，，，
则.
-
1
. z.
格林公式
1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数在
D 上具有连续一阶偏导数,则有
2、为一个单连通区域，函数在上具有连续一阶偏导数，则
曲线积分在内与路径无关
曲线积分
在内为*一个函数的全微分
对面积的曲面积分
定义：
设为光滑曲面，函数是定义在上的一个有界函数，
定义
计算：———“一投二换三代入〞
，，则
对坐标的曲面积分
预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量
定义：
设为有向光滑曲面，函数是定义在上的有界函数，定义
同理，
-
1
. z.
性质：
1〕，则
2〕表示与取相反侧的有向曲面 , 则
计算：——“一投二代三定号〞
，，在上具有一阶连续偏导数，在上连续，则,为上侧取“ + 〞， 为下侧取“- 〞.
两类曲面积分之间的关系：
其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。
高斯公式
高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成, 的方向取外侧, 函数在上有连续的一阶偏导数,则有
或
斯托克斯公式
斯托克斯公式：设光滑曲面 S 的边界 G是分段光滑曲线, S 的侧与 G的正向符合右手法则, 在包含å 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
第六章 常微分方程
1、微分方程的根本概念
含未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程；
-
1
. z.
未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程;
未知函数是