文档介绍：的知识点总结
(—)圆的有关性质
［知识归纳］
圆的有关概念：
圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；
弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣孤、等弧、弓形、弓形的高；
圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的° , . hA = 65° •••CA = CD , . hADC = nA = 65° .nACD = 50° , 晶的度数为 50°o
：如图3 , aABC内接于。。且AB = AC ,。0的半径等于6cm ,。点到BC 的距离0D等于2cm ,求AB的长。
析：因为不知道zA是锐角还是钝角，因此圆心有可能在三角形内部，还可能在三角形外 部，所以需分两种情况进行讨论。
略解：(1 )假若nA是锐角，aABC是锐角三角形。如图3 ,由AB = AC ,可知点A是 n
优弧3C的中点，因为OD_lBC且AB = AC，根据垂径定理推论可知，DO的延长线必过点A , 连结B0
•. B0 = 6,0D = 2
:BD = 庆-。疔=762 - 22 = 4^2
在 RMADB 中，AD = DO + AO = 6 + 2 = 8
,AB = J/—? +8玲=+(4 很好=4 46 (cm)
(2 )若zA是钝角，则aABC是钝角三角形，如图3-1添加辅助线及求出BD = E , 在 RMADB 中，AD = AO- DO = 6-2 = 4
.AB = J AD2 + BD2 =抨 +(4 很沪=4 后(湖
综上所述AB = 4、屁沈或幽=4 ■\f3cm
小结：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三 角形的位置关系，防止丢解或多解。
：如图4 , AB是。0的直径，弦CDxAB , F是CD延长线上一点，AF交。 。于 E。求证：AE EF = EC ED
B
图4
分析：求证的等积式AE EF = EC ED中，有两条线段EF、ED在^EDF中，另两条线段 AE、EC
没有在同一三角形中，欲将其置于三角形中，只要添加辅助线AC ,设法证明&FED -aCEA即可。
证明：连结AC
•.四边形DEAC内接于圆
. .zFDE = zCAE , zFED = zDCA
n n
.•直径 AB±CD , : DA = AC
. .nDCA = nCEA , .•.nFED = nCEA
..△FED-aCEA
DE _ EF
而-旅，. .AEEF = ECED
小结：四边形内接于圆这一条件，常常不是在已知条件中明确给出的，而是隐含在图形 之中，在分析已知条件时，千万不要忽略这一重要条件。
：如图5 , AM是。0的直径，过。0上一点B作BN±AM ,垂足为N ,其延长 线交。。于点C ,弦CD交AM于点Eo
图5
(1 )如果 CD1AB ,求证:EN = NM ;
(2 )如果弦CD交AB于点F ,且CD = AB，求证CE2 = EF ED :
(3 )如果弦CD绕点C旋转，并且与AB的延长线交于点F ,且CD = AB，那么(2 ) 的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
证明：(1 )连结BM (如图5- 1 )
A
图5-1
/AM 是直径，. .zABM = 90°
. CDiAB , .-.BM||CD
. .zECN = nMBN ,又 AM±BC , . .CN = BN
..RtaCEN岛RMBMN , /.EN = NM
(2 )连结 BD , BE , AC (如图 5 - 2 )
•.点E是BC垂直平分线AM上一点，/.BE = EC n n c c
, CD = AB ■ CD =-AD = BC
. wACD = nBDC，又 AB = AC , AE = AE
. .△ABE罢aACE , . .zABE = zACD = zBDC
.nBED 是公共角，. .abed-afeb
. .BE2 = EF ED , . .CE2 = EF ED
(3 )结论成立。如图5 - 3
图5 - 3
证明：仿(2 )可证aABE^aaCE
/.BE = CE ,且nABE = zACE n n
又「AB = CD , : AB = CD
. hACB = nDBC , .-.BD||AC
..zBDE + nACE = 180°
而 zFBE + zABE = 180°
. .zBDE = nFBE ,而zBED 是公共角
.'.ABED-AFEB
. .BE2 = EF ED , . .CE2 = EF ED
（二）直线与圆的关系
直