文档介绍：嘉善四中 吴泉林制作 ---1---
相似三角形
一、知识结构
同学们在本章中主要学****的内容是比例和比例线段的有关概念，相似角形的概念、性质和判定，以及相似三角形的应用。
下面给同学们介绍本章知识的相互联系，它们可用知识 则a=bk， c=dk.
左式===k2(d2+d2)
=(bk) 2+(dk) 2=a2+c2=右式
例4 解方程组
解：设，则x=4k， y=3k，z=5k，代入第2个方程，得
8k－9k=38t－20k . ∴k=2t
例5 如图，在梯形AGHB中，AB∥CD∥EF∥GH，且面积S1=S2=S3
求证：AB2+GH2=CD2+EF2
证明：设GA，HB的延长线相交于P
∵AB∥CD∥EF，∴△PAB∽△PCD ∽△PEF
∴S△PAB∶S△PCD∶S△PEF=AB2∶CD2∶EF2
设===K
则S△PAB =k·AB2，S△PCD =k·CD2，S△PEF =k·EF2，
∵S1 = S2，∴S△PCD = S△PAB= S△PEF = S△FCD ，
得k·CD2－ k·AB2 = k·EF2－ k·CD2
化简得2CD2=AB2+EF2，……………………………………①
同理，2EF2=CD2+GH2………………………………………②
①+②得2CD2+2EF2=AB2+CD2+EF2+GH2，
即AB2+GH2=CD2+EF2.
例6．如图，△ABC中，若a∶b∶c=4∶5∶6,
求证：∠ACB=2∠A
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证明：作角平分线CD，DE∥BC，交AC于E，于是∠1=∠2=∠3，DE=EC，且
，
∴ ，∴= ，即
设
则a=4k , b=5k , c=6k ,代入上式，
得
，∴BD=k
在△DBC和△CBA中，
∵ ，∠B是公共角，
∴△DBC∽△CBA，
∴∠A=∠2=∠ACB，∠ACB=2∠A
说明：在例5，6中，利用辅助元可便于计算线段的长，为推理带来方便。
㈡相似三角形解题中的平行线
在相似三角形的学****中，平行线的性质和判定都得到了扩展，介绍了平行线分线段成比例定理，三角形一边的平行线的性质和判定，解题时，要充分运用平行线的性质，转化有关线段的比，还要巧妙地添辅助平行线，使一组比用另一组比来代替，便于得到所需要的相似三角形或其它熟悉的图形，同时还应自觉地想到用比例线段判定两直线平行的方法，突破用三线八角进行判定的思维局限。
例1．如图在□ABCD中P，Q三等分AC，DP的延长线交BC于E，EQ的延长线交AD于F，已知BC=18，求AF的长。
分析：末知线段AF与已知线段BC怎样联系起来？可逐步过渡：AD∥BC，可求AF与EC的比例关系，EC与AD的比例关系，而AD=BC，AF便可用BC来表示。
解：∵AD∥BC，∴△AQF∽△CQE，△CPE∽△APD
， 两式相乘，
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又∵AD=BC=18，∴AF=
例2．如图，△ABC中，P是中线AD上的任意一点，BP，CP的延长线分别与AC，AB相交于E，F，求证：EF∥BC
分析：欲证EF∥BC，没有角的条件，没有所需的比例线段，