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传染病动力学模型一回顾与展望
王玉，陈姗姗，傅新楚
（上海大学理学院，上海 200444）摘要：传染病是人类社会一直面临的重大问题，用数学模型研究传染病的传播机理，预测传逐年上升趋势，截至2015年10月我国存活的HIV感染人数近60万，而且到目前为止仍然找不到根治的方法［3］。2001 年，英国爆发口蹄疫，集中宰杀、焚烧了近 700 万头感染口蹄疫的牲畜。尤其是近些年，诸如“非典”，禽流感，埃博拉等疾病多次大规模爆发，威胁着人类的生命安全。以上这些无一不在告诉我们，传染病是人类的重大威胁。而研究传染病的发病机理，传播机制，以及制定防控策略就成了人类的重要而且必要的问题。
本文将主要从均匀混合传染病动力学模型和网络动力学模型两个方面，由浅入深地介绍各类传染病动力学模型。
经典传染病模型回顾
传染病在人群以及其他种群中的传播是一个很复杂的过程。从建模的角度来看，传染病从初始状态开始逐步扩散的过程可以通过建立数学模型来进行研究。早在 1760 年，就开始用数学的方法研究天花的传播［4］。1906 年构造离散时间模型研究了麻疹的反复流行过程［5］。1911 年利用微分方程模型研究了疟疾在蚊子与人类之间的传播并获得Nobel医学奖［6］。1926年Kermack和McKendrick研究了 1665〜1666年伦敦的黑死病以及1906年孟买的瘟疫的，构建了具有重要意义的SIR仓室模型［7］，1932年他们又提出了 SIS 模型，并提出了阈值理［8］。这些早期的经典传染病数学模型为今后的传染病建模分析奠定了重要的基础，在传染病研究中具有划时代意义。
本章主要介绍具有代表性的SIR模型和SIS模型，并以此为基础介绍阈值理论的一些相关知识。
两个最基本的传染病模型
Kermack和McKendrick构建两个仓室模型SIR［7］与SIS［8］模型，是最具代表性的两个模型。Kermack和McKendrick的模型理论从创立以来，被广泛应用和改进。要了解传染病模型的发展，就必须先从这两个模型说起。
很多类型的传染病，如水痘，流感等，其感染者痊愈后体内有了相应的抗体，这一部分人具有免疫力，一般不会再次患病。SIR模型便是针对这一类疾病。
SIR模型的基本思想，就是将总人口 N分为三个仓室：
S代表易感者(susceptible)，即未感染且不具有免疫力的人，与染病者接触可能会被感染；
I代表染病者(infective),即感染的人，这部分人具有一定的传染力；
R代表移出者(removed)，即痊愈的人，这部分人具有免疫力。
其中 N = S +1 + R。t 时刻的状态是N(t) = S(t) +1(t) + R(t)。
K-M基于三个基本假设，对模型做了简化：
不考虑出生、死亡、人口流动等种群动力学因素。即：
N (t) = S (t) +1 (t) + R (t)三 K。
人群内的接触是均匀的，并且任意的一个感染者与任意的一个易感者接触致其感染的概率是相等的。
单位时间内任何一个染病者痊愈(即从I仓室到R仓室)的概率是相等的。
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由此可见单位时间内感染人数应和S(t)与I(t)成正比。设比例系数为0。单位时间内
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痊愈的概率(即恢复率，又称移除率)为丫。
如图1所示：
图1 SIR仓室模型
Fig. 1 SIR compartment model
这样便可以得到：
ds 一卩％
dt
＜芈=卩SI —屮, ()
dt dR r
—=yi.
、dt
以上为SIR模型。但是还有一些疾病其感染者痊愈以后，不具有免疫力，仍然可以再次感染。针对这种情况，K-M又建立了 SIS模型。SIS模型与SIR模型类似，区别在于。I仓室内的人痊愈后直接进入S仓室。相应的总人口数满足N(t) = S(t) +1(t)三K。
如图2所示：
图2 SIS仓室模型
Fig. 2 SIS compartment model 在类似的假设下，可以得到：
()
dS _ t 丁 ――=—PSI+Y1， dt
孚= Psi —yi.
I dt
这两个模型可以粗略的表示所有类型的疾病。后来的很多更复杂的模型便是在这两个模型的基础上优化与发展得到的。

K-M分析和研究了他们所建立的模型，并提出了阈值理论［8］阈值理论是研究传染病模型，判断疾病是否流行的重要理论。我们这一