文档介绍：48
第五章 矩阵分析
、矩阵的三种导数和矩阵微分与积分的概念，简要介绍向量与矩阵范数的有关知识.
§ 向量与矩阵的范数
从计算数学的角度看，在研究计算方法的收敛性 设是某种向量范数，对阶矩阵定义
（2）
则为方阵范数，称为由向量范数导出的矩阵范数，而且它具有乘法相容性并且与向量范数
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相容.
证 首先可证，由（2），当时，有
，
即 （3）
而当时，，于是总有（3）式成立.
容易验证满足范数定义中的非负性、齐次性及三角不等式三个条件，，对任意阶矩阵，利用（2）式和（3）式可得
.
即说矩阵范数具备乘法相容性.
一般地，：
例6 证明：对n阶复矩阵，有
1），称为A的列和范数.
2），称为A的行和范数.
证 1）
，有
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于是，对任意非零向量有.
，设是第个分量为1而其余分量全为0的向量，则,且
,
即 .
2）的证明与1）相仿，留给读者去完成.
例7 证明对阶复矩阵，有
，
这里是的奇异值，称此范数为的谱范数.
证 ，故有酉矩阵，使得
.
如设则是相应于特征根的单位特征向量，即有
.
对任意满足的复向量 ，有
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令，则，,则
于是 .
即有 .
由的任意性，便得
特别取，则有，
即 .
这说明在单位球面上可取到最大值，从而证明了
各种矩阵范数之间也具有范数的等价性
定理3 设是任意两种矩阵范数 则有正实数使对一切矩阵恒有
§ 向量与矩阵序列的收敛性
在这一节里，我们将把数列极限的概念，扩展到向量序列与矩阵序列上去.
可数多个向量（矩阵）按顺序成一列，就成为一个向量（矩阵）序列，
例如 ，
是一个维向量序列，记为，诸的相应分量则形成数列.
定义5 ，
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数列均收敛且有，，则称为向量序列的极限，记为，或简记为.
如果向量序列不收敛，，读者不难证明向量序列的收敛性具有如下性质.
设是中两个向量序列，是复常数，如果，则
定理4 对向量序列，的充分必要条件是，其中是任意一种向量范数.
证明1） ，；
；
；
.
2）由向量范数等价性，对任一种向量范数，有正实数，
.
于是定理对任一种向量范数都成立.
根据上述定义，向量序列有极限的根本之处在于各分量形成的数列都有极限
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.
由于中矩阵可以看作一个维向量，，我们可以用矩阵各个元素序列的同时收敛来规定矩阵序列的收敛性.
定义6 设有矩阵序列，如果对任何，均有
则说矩阵序列收敛，如令，.
矩阵序列不收敛时称为发散.
讨论矩阵序列极限的性质，以下设所涉及的矩阵为阶矩阵：
1) 若，为数列且，则.
特别，当为常数时，.
2) 若，，则.
3) 若，，则.
4) 若且诸及均可逆，则收敛，并且
.
容易证明性质1)-3)成立，对性质4)注意到行列式值定义的和式无非是中元素的乘法与加法之组合，再由
即可知
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用表示中元素的代数余子式，用表示中（）元素的代数余子式，便有
.
进而 .
这里是的伴随矩阵，
，
所以.
定理5 对于矩阵序列，的充分必要条件是对任何一种矩阵范数,有
定理5的证明与定理4类似，由于矩阵范数的等价性，只需证明对矩阵范数定理成立，其方法也与定理4的证明一致，这里从略.
以下主要介绍范数在特征值估计方面的应用.
定义7 设,为的个特征值，称
为的谱半径.
有了谱半径的概念，可以对矩阵范数作如下的初步估计.
定理6 设,则对上的任一矩阵范数，皆有
证 设是的特征值，为的属于特征值的特征向量，故，，由，应有
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而,于是有
同除，有